Aufgabe II.3 (a) Zeigen Sie, dass die Funktiond d(x, y

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2015 Universität Bielefeld

Präsenzaufgaben zu Analysis 2 Blatt II vom 16.04.15

Aufgabe II.1

Seif:R→(0,∞) stetig. Ist die Abbildungd:R×R→R definiert durch

d(x, y) =

y

Z

x

f(t) dt

eine Metrik aufR? Aufgabe II.2

Seien(X, d)ein metrischer Raum und(xn)eine konvergente Folge inX. Zeigen Sie, dass der Grenzwert eindeutig ist.

Aufgabe II.3

(a) Zeigen Sie, dass die Funktiond: (0,∞)×(0,∞)→[0,∞),d(x, y) = ^|x−y|_xy eine Metrik aufX = (0,∞) definiert.

(b) Zeigen Sie, dass die Folge der natürlichen Zahlen in dem metrischen Raum (X, d) eine Cauchy-Folge ist, die nicht konvergiert.

Aufgabe II.4

Seien (X, d) ein metrischer Raum und M ⊂X. Bestimmen Sie in den folgenden Fällen jeweils M,M˚ und ∂M.

a) X=R, d(x, y) =|x−y|; i) M = (0,∞) ii) M = (−∞,0]

b) X=R², d(x, y) =kx−yk₂; i) M = (0,2)×(1,3) ii) M =R× {0}

c)X=R³, d(x, y) =kx−yk₂; M = (1,2]³