Norm
Eine Norm auf einem reellen oder komplexen Vektorraum V ist eine Abbildung
V 3 v 7→ kvk ∈ R mit den folgenden Eigenschaften.
Positivit¨ at:
kvk > 0 f¨ ur v 6= 0 Homogenit¨ at:
ksvk = |s|kvk Dreiecksungleichung:
ku + vk ≤ ku k + kvk
Diese Identit¨ aten gelten f¨ ur alle u, v ∈ V und s ∈ R bzw. s ∈ C .
Mit einem Skalarprodukt ist die Norm
|v| = p
hv , vi, v ∈ V
assoziiert. F¨ ur diese spezielle Norm werden oft einfache Betragsstriche verwendet. Insbesondere ist f¨ ur V = R
nund V = C
n|x| = q
|x
1|
2+ · · · + |x
n|
2.
Mit Hilfe einer Norm kann durch
d (u, v ) = ku − vk
ein Abstand zwischen zwei Vektoren definiert werden.
Beweis
Uberpr¨ ¨ ufung der Normeigenschaften f¨ ur die einem Skalarprodukt zugeordnete Norm
Positivit¨ at und Homogenit¨ at X Die Dreiecksungleichung folgt aus
|u + v|
2= hu + v, u + v i
= hu, ui + hu, v i + hu, vi
| {z }
∈R
+hv , vi
≤ |u|
2+ 2|hu, vi| + |v|
2≤
Cauchy-Schwarz
|u|
2+ 2|u||v| + |v|
2= (|u| + |v |)
2durch Wurzelziehen.
Beispiel
Normen f¨ ur die Vektorr¨ aume R
nund C
n2-Norm oder Euklidische Norm kz k
2=
q
|z
1|
2+ · · · + |z
n|
2z.B.
k(2, −1, 2)
tk
2= √
4 + 1 + 4 = 9
Spezielle Notation f¨ ur die, dem kanonischen Skalarprodukt
zugeordnete Norm: kz k
2= |z|
Maximum-Norm
kzk
∞= max
k
|z
k| z.B:
k(2 + 3i, 3 − 4i)
tk
∞= max( p
2
2+ 3
2, p
3
2+ 4
2)
= max(
√ 13,
√
25) = 5 Verallgemeinerung: kz k
∞,w= max
k
(w
k|z
k|) mit Gewichten w
k> 0 1-Norm
kzk
1=
n
X
k=1
