Antwort zur Frage 313:
Wie ist der Erwartungswert definiert?
Der ErwartungswertE(X) einer Zufallsvariablen X ist der Wert, der sich auf Grund der Wahrschein- lichkeitsverteilung f¨ur die einzelnen Ereignisse ergibt, wenn das Experiment beliebig oft durchgef¨uhrt wird.
Es handelt sich also um einengewichteten Mittel- wert, der die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten f¨ur die einzelnen Ereignisse ber¨ucksichtigt.
Der Erwartungswert berechnet sich aus der Summe der Produkte allernWerteXi, die die Zufallsvariable Xannehmen kann, mit ihrer jeweiligen Wahrschein- lichkeitP(X=Xi).
E(X) = Xn
i=1
Xi·P(X=Xi)
Achtung: Der Erwartungswert bezieht sich immer auf eine bestimmte Zufallsvariable! Bei Gewinnspie- len ist genau darauf zu achten, ob man den Erwar- tungswert f¨ur die Zufallsvariable Gewinn oder f¨ur die ZufallsvariableAuszahlung berechnet:
Gewinn = Auszahlung - Einsatz
DerErwartungswert f¨ur den Gewinnist also im- mer genau um die H¨ohe des Einsatzes kleiner als der Erwartungswert f¨ur die Auszahlung.
Ein Gl¨ucksspiel wirdfairgenannt, wenn derErwar- tungswert f¨ur Gewinn 0ist.
Der Erwartungswert f¨ur die Auszahlung ist in der Regel leichter zu berechnen, da der Term f¨ur keine Auszahlungimmer 0 ist.
