und Ck([a, b]) ={f : [a, b]→K|f ist k-mal stetig differenzierbar}, ∂jf

Fachbereich Mathematik und Informatik Sommersemester 2008 Universit¨at Marburg

Prof. Dr. W. Gromes

Ubungen zur Funktionalanalysis¨ – Blatt 1 –

Abgabe Dienstag, 8.4.2008, 14 Uhr s.t.

Aufgabe 1 (4 Punkte). Sei k∈N (={0,1,2, . . .}) und

C^k([a, b]) ={f : [a, b]→K|f ist k-mal stetig differenzierbar},

∂^jf (= f^(j)) sei diej-te Ableitung von f. Zeigen Sie:

C^k([a, b])3f 7→

k

X

j=0

k∂^jfk_∞=:kfk_∞,k

ist eine Norm auf C^k([a, b]) und C^k([a, b]) ist damit ein Banachraum.

Aufgabe 2 (m¨undlich). Sei E ein unendlich-dimensionaler normierter K-Vektorraum mit einer (algebraischen) BasisB = (v_λ)_λ∈Λ.

Zeigen Sie: Es gibt eine unstetige lineare Abbildung η:E →K. Aufgabe 3 (m¨undlich).

a) Es sei

∂ :C¹([0,1]) →C([0,1]) :f →∂f :=f⁰. Untersuchen Sie ∂ auf Stetigkeit als Abbildung

i) (C¹([0,1]), k · k∞,1)→(C([0,1]), k · k∞), ii) (C¹([0,1]), k · k∞)→(C([0,1]), k · k∞).

b) Zeigen Sie, dass die Identit¨atf 7→f

i) als Abbildung (C([0,1]), k · k_∞)→(C([0,1]), k · k₁) stetig ist, aber ii) als Abbildung (C([0,1]), k · k1)→(C([0,1]), k · k∞) unstetig ist.

c) Bestimmen Sie f¨ur die stetigen Abbildungen in a) und b) jeweils die Operatornorm.

Aufgabe 4 (4 Punkte). Es sei (X,k · k) ein normierter Raum.

Beweisen Sie, dass X genau dann vollst¨andig ist, wenn gilt:

F¨ur jede Folge (x_j)j∈N⊂X mit

∞

P

j=0

kx_jk<∞ gibt es ein x∈X mit lim

k→∞

k

P

j=0

x_j =x.