SS 2004
Prof.Dr. G. Nebe
Andreas Martin Blatt 5
Ubungen zur Linearen Algebra¨ Abgabe : Dienstag, 25.5.2004, vor den ¨Ubungen 1. Es sei
U :={
x
−x 0
|x∈R} ≤R3 .
Bestimmen Sie (explizit) einen Isomorphismus R3/U →R2. (2 P.) 2. Zeigen Sie, daß die Vektoren
1 2 1 0
,
2 1 3 1
,
0 1 2 2
∈R4
linear unabh¨angig sind. Erg¨anzen Sie diese Vektoren zu einer Basis desR4. (4 P.) 3. Zeigen Sie, daß die Vektoren
2 1 2 1
,
3 2 0 0
,
1 4 1 2
,
4
−1 1
−1
,
1 0 1 1
∈R4
linear abh¨angig sind. W¨ahlen Sie aus diesen Vektoren eine Basis aus.
(4 P.) 4. Es seiϕ:V →W eine lineare Abbildung von K-Vektorr¨aumen. Zeigen Sie.
(i) ϕist injektiv genau dann, wenn f¨ur jede linear unabh¨angige Teilmenge X ⊆V gilt, daß auch ϕ(X)⊆W linear unabh¨angig ist.
(ii) ϕ ist surjektiv genau dann, wenn f¨ur jedes Erzeugendensystem X von V gilt, daß ϕ(X) ein Erzeugendensystem von W ist.
(Je 2 P.) 5. (Der K¨orper F9). Es sei p:=x2+x+ 2∈F3[x]. Zeigen Sie.
(i) p ist irreduzibel.
(ii) F9 :=F3[x]/pF3[x] ist ein K¨orper mit 9 Elementen.
(iii) Mit θ:= [x]∼p folgtθ2+θ+ 2 = 0.
(iv) Als Vektorraum ¨uber F3 besitzt F9 die Basis 1, θ.
(v) θ3 = 2θ+ 2, θ4 = 2, θ5 = 2θ, θ6 =θ+ 2, θ7 =θ+ 1, θ8 = 1.
(vi) F9 ={0,1, θ, . . . , θ7}.
(vii) Stellen Sie die Additions- und Multiplikationstafel f¨ur F9 auf, wobei die Elemente mit 0,1, θ, . . . , θ7 bezeichnet werden.
(1+1+1+1+2+1+3 P.) Die ¨Ubungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse:
www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/nebe/Vorl/la
Tutoriumsaufgaben:
1. Es seiF4 ={0,1, ω, ω2}der K¨orper mit 4 Elementen, wobei ω2+ω+ 1 = 0.
Zeigen Sie, daß die Abbildung F4 → F4, y 7→ y2 ein Isomorphismus von F2-Vektorr¨aumen ist. (Hinweis: Es giltω3 = 1 und 1 + 1 = 0 in F4.)
2. Zeigen Sie, daß die Vektoren
1 2 3
,
2 2 1
,
3 0 1
eine Basis des F53 bilden, aber nicht des F73. 3. Bestimmen Sie eine Basis des R-Vektorraums
V :={p∈R[x]| Gradp≤3, p(1) = 0}.
