Erg¨anzungen zur Vorlesung Physik I, HS2014, U. Straumann
Das Pendel: Erg¨anzungen
korrigierte Version, 12.Okt.2016
x
y ϕ
m
G F
Wir haben f¨ur das Pendel die Gleichung
g·sinϕ+L·ϕ¨= 0 (1)
erhalten und mit der N¨aherung sinϕ≈ϕversehen:
g·ϕ+L·ϕ¨= 0 (2)
Die L¨osungsfunktion lautete:
ϕ(t) =ϕ0·sin (ωt+δ) (3)
1 Fadenkraft
Nun wollen wir die FadenkraftF berechnen. Es war
F =− m¨x
sinϕ (4)
Mit der obigen N¨aherung f¨ur kleine AUslenkungen sinϕ≈ϕund cosϕ≈1 und unter Verwendung der Zwangs- bedingung f¨ur ¨xwird dies zu
F =−mLϕ¨
ϕ+mLϕ˙2 (5)
Setzen wir darin die L¨osung (3) ein, erhalten wir 1
F(t) =mg
2 (2 +ϕ20(1 + cos (2ωt+ 2δ))) (6)
wobei wir die Beziehung 2 cos2α= 1 + cos 2αverwendet haben.
Es handelt sich also um eine Frequenzverdopplung.
2 Zykloidenpendel
Wir hatten die N¨aherung
sinϕ L ≈ϕ
L (7)
gemacht. Experimentell hatten wir deswegen in der Vorlesung f¨ur eine bestimmte Anordnung eine von der Amplitude abh¨angige Periodendauer festgestellt, die in der Gr¨ossenordnung 10−3 lag.
Bei einem Zykloidenpendel verwendet man ein geeignet gekr¨ummtes Blech um die freie Fadenl¨ange bei grosser Amplitude zu verk¨urzen, sodass gilt
L=L0·(1−ϕ2
3!) (8)
wobeiL0 die Fadenl¨ange bei ϕ= 0 ist.
Nun wird
sinϕ
L = ϕ−ϕ3!3
L0(1−ϕ3!2) = ϕ L0
+O(ϕ5) (9)
Das heisst die N¨aherung sinϕ≈ϕf¨uhrt jetzt nur noch zu Fehlern die mit der f¨unften Potenz vonϕgehen. Das Pendel ist nun viel weniger amplitudenabh¨angig.
3 Phasenraum
Man diskutiert die Bewegungen oft im Phasenraum. Damit ist der Raum gemeint, der durch das Koordinaten- paar (x,x) aufgespannt wird, in unserem Fall also (ϕ,˙ ϕ). Ein Pendel mit gegebenen Anfangsbedingungen liegt˙ bei kleinen Amplituden auf einem Kreis in diesem Diagramm. All m¨oglichen Anfangsbedingungen f¨uhren zu einer Kurvenschar. Man spricht auch vomPhasenraumportrait.
4 Kreispendel
Das Kreispendel h¨angt an einer drehbar angeordneten Aufh¨angevorrichtung. Das Pendel beschreibt eine Kreis- bahn (es pendelt also eigentlich nicht). Die Bewegunggleichung f¨ur eine Kresbahn lautet:
mv2
R =FR (10)
wobei mitFR die Kraft in radialer Richtung gemeint ist.
Unser Kreispendel sei um den Winkelαausgelenkt, also gilt:
R=L·sinα (11)
und mitv=ω·R werden die Bewegungsgleichungen
radial F·sinα=mL·sinα·ω2 (12)
vertikal F·cosα−mg= 0 (13)
2
Durch Eliminieren vonF erhalten wir daraus
g·tanα=L·sinα·ω2 (14)
Diese Gleichung hat zwei L¨osungen f¨urα (L1)α= 0
(L2) cosα= Lωg2, fallsω2>Lg
Man spricht von einer Bifurkation: Bei grossen Drehfrequenzen gibt es zwei stabile Zust¨ande, das System springt pl¨otzlich von einem Zustand in den anderen. Man nennt dies einen Phasen¨ubergang 1. Ordnung (wie zum Beispiel das Schmelzen von Eis)
3
