M. Mathematische Erg¨ anzungen
1
M 1 Partielle Ableitungen von Funktionen in mehreren Variablen
2
M 2 Partielle Ableitungen impliziter Funktionen
3
M 3 Exakte und nicht exakte Differentiale
G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I – Mathematische Erg¨anzungen 9. M¨arz 2016 1 / 8
M 1 Partielle Ableitungen von Funktionen in mehreren Variablen
M 1 Partielle Ableitungen von Funktionen in mehreren Variablen
Seif =f(x,y,z)eine (beliebig oft) differenzierbare Funktion in ihrenunabh¨angigen Variablenx,y, undz, dann heißen
∂f
∂x
y,z
∂f
∂y
x,z
∂f
∂z
x,y
(erste) partielle Ableitungenvonf(x,y,z) nach dem jeweiligen Argument (wobei die jeweils anderen Argumente konstant gehalten werden)
analog kann man diezweiten partiellen Ableitungenvonf(x,y,z) beispielsweise folgendermaßen definieren
∂
∂x ∂f
∂x
= ∂2f
∂x2
∂
∂y ∂f
∂z
= ∂2f
∂y∂z
∂
∂z ∂f
∂x
= ∂2f
∂z∂x etc.
unter der Voraussetzung der stetigen Differenzierbarkeit gilt
∂2f
∂x∂y = ∂2f
∂y∂x etc.
M 1 Partielle Ableitungen von Funktionen in mehreren Variablen
f¨urf =f(x,y,z) ist dasDifferential erster Ordnunggegeben durch df =
∂f
∂x
y,z
dx+ ∂f
∂y
x,z
dy+ ∂f
∂z
x,y
dz
Differentiale h¨oherer Ordnung (d2f, etc.) lassen sich analog mit Hilfe der h¨oheren partiellen Ableitungen definieren
sindx,y, undz ihrerseits Funktionen einer weiteren Variablenu, also x =x(u) y =y(u) z=z(u) dann gilt
dx=dx
dudu dy=dy
dudu dz= dz dudu somit erh¨alt man f¨ur das Differential erster Ordnung vonf
df =
"
∂f
∂x
y,z
dx du +
∂f
∂y
x,z
dy du +
∂f
∂z
x,y
dz du
# du
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M 2 Partielle Ableitungen impliziter Funktionen
M 2 Partielle Ableitungen impliziter Funktionen
gilt, daßf(x,y,z) =const., dann sind die Variablenx,y, undz nunmehr voneinander abh¨angig
folgende wichtige Relationen k¨onnen hergeleitet werden:
(i)
df = 0 = ∂f
∂x
y,z
dx+ ∂f
∂y
x,z
dy+ ∂f
∂z
x,y
dz
sei nunz=const.(alsodz= 0), dann gilt nach Division durchdx 0 =
∂f
∂x
y,z
+ ∂f
∂y
x,z
∂y
∂x
z
somit gilt
∂y
∂x
z
=−
∂f
∂x
y,z
∂f
∂y
x,z
analog erh¨alt man ∂z
∂x
=−
∂f
∂x
y,z
∂f
∂z
∂y
=− ∂f
∂y
x,z
∂f
M 2 Partielle Ableitungen impliziter Funktionen
(ii) es wird angenommen, daß die Funktionf nach jeder der drei Variablen eindeutig aufgel¨ost werden kann, also
x =x(y,z) y=y(x,z) z=z(x,y) daher gilt
dx = ∂x
∂y
z
dy+ ∂x
∂z
y
dz
dz = ∂z
∂x
y
dx+ ∂z
∂y
x
dy
durch Elimination vondz folgt dx=
"
∂x
∂y
z
+ ∂x
∂z
y
∂z
∂y
x
# dy+
∂x
∂z
y
∂z
∂x
y
dx
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M 2 Partielle Ableitungen impliziter Funktionen
Vergleich der Koeffizienten f¨uhrt zu
◦ ∂x
∂z
y
∂z
∂x
y
= 1 bzw.
∂x
∂z
y
= 1
∂z
∂x
y
und entsprechend andere Relationen (1)
◦ ∂x
∂y
z
=−
∂x
∂z
y
∂z
∂y
x
und daher mit (1)
∂x
∂y
z
∂y
∂z
x
∂z
∂x
y
=−1
M 3 Exakte und nicht exakte Differentiale
M 3 Exakte und nicht exakte Differentiale
Differentiale, wie jene auf Folie 3 des Dokuments, sind konstruktionsgem¨aß exakt ist hingegen ein Differential gegeben, also
dω=fx1dx1+fx2dx2+fx3dx3
so ista priorinicht offensichtlich, daß es sich um ein exaktes Differential handelt; d.h., es ist nicht offensichtlich, ob es eine Funktionf =f(x1,x2,x3) gibt, sodaß
df =dω ist dies der Fall, dann gilt offensichtlich
fxi = ∂f
∂xi
xj6=xi
i,j= 1,2,3 mit
∂2f
∂xi∂xj
= ∂2f
∂xj∂xi
i,j= 1,2,3
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M 3 Exakte und nicht exakte Differentiale
f¨ur die Beantwortung der Frage, ob es bei gegebenemdωeine derartige Funktion f(x1,x2,x3) gibt, lassen sich folgende notwendige Bedingungen angeben (die unter gewissen Zusatzforderungen) auch hinreichend sind (Integrabilit¨atsbedingungen):
∂fxi
∂xj
xk6=xj
= ∂fxj
∂xi
xk6=xi
i,j,k= 1,2,3 gelten diese Bedingungen nicht, so heißtdωnicht exaktes Differential
