Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2013 Matthias Makowski
Ubungen zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen 1a¨ Blatt 5
Aufgabe 5.1. (4 Punkte)
Sei Ω ⊂ Rn offen, beschr¨ankt mit ∂Ω ∈ C1. Seien aij ∈ C1(Ω), bi, d ∈ L∞(Ω) und f ∈ L2(Ω). Sei (aij) gleichm¨aßig elliptisch mit Elliptizit¨atskonstanteϑ >0. Seiu∈H1(Ω) eine schwache L¨osung der Differenti- algleichung
(Lu:=− aijui
j+biui+du=f in Ω,
−aijujνi=ϕ auf ∂Ω.
Seii∈ {1,2}fest undϕ∈Xi, wobei X1:=H1(Ω) undX2:=L∞(∂Ω) seien.
a) Zeige, dass es eine Konstantec=c(n,Ω, L) gibt, so dass
kDukL2(Ω)≤c(kukL2(Ω)+kfkL2(Ω)+kϕkXi) gilt.
b) F¨ur alle 1≤j ≤nsei nunbj= 0 undd= 0. Zeige, dass es eine Konstante c=c(n,Ω, L) gibt, so dass kukH1(Ω)≤c
Z
Ω
u
+kfkL2(Ω)+kϕkL2(Ω)
gilt.
Aufgabe 5.2. (4 Punkte)
Seiu∈C2(Rn). Dann existiert einc=c(n)>0, sodass kDuk2L∞ ≤ckukL∞·
D2u L∞.
Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen13.html#PDE1a Abgabe:Bis Mittwoch, 29.05.2013, 10.00 Uhr, in der Vorlesung.
