Seienf ∈L2(Ω),ϕ∈W2,2(Ω) undai ∈C1(Ω×R×Rn), 1≤i≤n, gegeben, wobei dieaidie Bedingungen (1), (2) und (3) von Aufgabe 2.2 erf¨ullen

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2013 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen 1a¨ Blatt 4

Aufgabe 4.1. (4 Punkte)

Sei Ω⊂Rⁿ offen und beschr¨ankt mit∂Ω∈C². Seienf ∈L²(Ω),ϕ∈W^2,2(Ω) undaⁱ ∈C¹(Ω×R×Rⁿ), 1≤i≤n, gegeben, wobei dieaⁱdie Bedingungen (1), (2) und (3) von Aufgabe 2.2 erf¨ullen. Seiu∈W^1,2(Ω) eine schwache L¨osung des Randwertproblems

(−(aⁱ(x, u, Du))i=f in Ω,

−aⁱ(x, u(x), Du(x))ν_i(x) =ϕ auf∂Ω.

Dann istu∈W^2,2(Ω) und es gibt eine Konstantec=c(n, ϑ, c_A), so dass

kuk_W2,2(Ω)≤c 1 +kϕk_W2,2(Ω)+kfk_L2(Ω)+kuk_W1,2(Ω)

gilt.

Aufgabe 4.2. (4 Punkte)

Sei m ∈ N, m ≥ 2. Sei Ω ⊂ Rⁿ offen und beschr¨ankt mit ∂Ω ∈ C^m+2. Seien f¨ur i, j ∈ {1, . . . , n} die Funktionena^ij ∈C^m+1(Ω),bⁱ, c∈C^m(Ω) gegeben, so dass (a^ij) gleichm¨aßig elliptisch ist. Seienf ∈W^m,2(Ω) undϕ∈W^m+2,2(Ω) gegeben. Seiu∈W^1,2(Ω) eine schwache L¨osung des Randwertproblems

(Lu:=−(a^ijuj)i+Pn

i=1bⁱui+cu=f in Ω,

−a^iju_jν_i=ϕ auf∂Ω.

Zeige, dass dann auchu∈W^m+2,2(Ω) gilt und dass es eine Konstantec=c(n,Ω, L) mit kuk_Wm+2,2(Ω)≤c kϕk_Wm+2,2(Ω)+kfk_Wm,2(Ω)+kuk_W^m−1,2_(Ω)

. gibt.

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen13.html#PDE1a Abgabe:Bis Mittwoch, 22.05.2013, 10.00 Uhr, in der Vorlesung.