Lösung der Bewegungsgleichung für erzwungene, gedämpfte Schwingungen
Wir hatten die Gleichung
t cos
F Dx
x r x
m && +
k& + =
0ω
EMit den Abkürzungen
0 2 0
0
k a
m und F m
, D m 2
r = δ ω = =
erhalten wir
t cos
a x
x 2
x && + δ & + ω
20=
0ω
EHierin bedeuten die Eigen(kreis)frequenz des Oszillators,
die Erreger(kreis)frequenz, δ das logarithmische Dekrement, welches die Stärke der Dämpfung beschreibt) und a
ω
0ω
E0 die Beschleunigung des Oszillators durch die angreifende periodische Kraft. Um die Glei- chung lösen zu können, ersetzen wir die Kraft durch den
komplexen Ausdruck :
t cos F
0ω
Esin i
t
EE + ω
( cos t ) )
F t i exp
F
0 ωE = 0 ωt i
exp a
x x
2
x && + δ & + ω
02=
0ω
EDies ermöglicht den ebenfalls komplexen Lösungsansatz
( ) ( )
( ω − α + ω − α )
= α
− ω
= x exp i ( t ) x cos t i sin t
x
A E A E EDa die angreifende Kraft eine reelle Größe ist, interessiert als Lösung auch nur der Realteil des Ansatzes . Der kom- plexe Ansatz ermöglicht jedoch das Lösen der Differentialgleichung.
(
ω −α=
x cos t
x
A E)
Mit
) t
( i exp x
x =
Aω
E− α
erhalten wir
) t
( i exp ix
x & =
Aω
Eω
E− α
und
) t
( i exp x
x && = −
Aω
2Eω
E− α
Einsetzen in die Ausgangsgleichung und Division durch expiωEt lie- fert:
0 2
0 A E
A 2
E
A
i 2 x x ) exp i a
x
( − ω + δ ω + ω − α =
bzw.
( α + α )
= ω +
ω δ
+ ω
− x i 2 x x ) a cos i sin (
A 2E A E A 02 0Diese Beziehung wird aufgeteilt in eine Gleichung für den Realteil und eine Gleichung für den Imaginärteil:
( α )
= ω +
ω
− x x ) a cos (
A 2E A 20 0( α )
= ω
δ x ) a sin 2
(
A E 0Aus diesem Gleichungssystem können die Amplitude xA und der Pha- senwinkel α in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz bestimmt wer- den. Unter Ausnutzung von sin2α = 1 - cos2α folgt für die Amplitude:
( )
[
02 2E 02 2 2E]
A
4
x a
ω δ + ω
−
= ω
Division beider Gleichungen ergibt den Phasenwinkel
(
2E)
2 0
2
Earctan
ω
− ω
= δω α
Darstellung der Lösung in der komplexen Ebene
( ) ( )
{
ω −α + ω −α= x cos t isin t
xOszillator A E E
}
) x Re(
) x Im(
(
ω t −α)
cos
xA E
E .
Err x
x =
A .
Osz x
x =
α
− ω
Et
α
−
( ) ( )
{
cos t isin tx
xErreger = E ωE + ωE
}
Die komplexe Exponentialfunktion kann als
Zeiger in einem Polardiagramm (Zeigerdiagramm) dargestellt werden, der den Betrag x
) t
( i exp x
x =
Aω
E− α
A und den Phasenwinkel ωEt - α hat.
• Die Elongation des Oszillators ergibt sich aus dem Realteil von x ( Re(x) ).
• Die Phase des Oszillators erhält man aus dem Verhältnis von Imaginär- zu Realteil.
