1 − s 2 a − s 2 1 − s 2 b und Radius

Geraden und Kreise in der Gaußschen Zahlenebene Die Gleichung

|z − a| = s|z − b|, s 6= 1 , beschreibt einen Kreis mit Mittel- punkt

w = 1

1 − s ² a − s ² 1 − s ² b und Radius

r = s

|1 − s ² | |b − a|

in der Gaußschen Zahlenebene.

Eine Parametrisierung dieses Kreises ist z = w + re ^it , t ∈ [0, 2π).

Ist s < 1 so liegt a im Inneren des Kreises und b außerhalb. F¨ ur s > 1 ist es umgekehrt.

F¨ ur s = 1 degeneriert der Kreis zu einer Geraden (Radius r = ∞), der

Mittelsenkrechten der Strecke ab.

Beweis

(i) Koordinatenform der Kreisgleichung:

setze

z = x + iy , a = a 1 + ia 2 , b = b 1 + ib 2

Quadrieren der Gleichung |z − a| = s |z − b|

(x − a 1 ) ² + (y − a 2 ) ² = s ² (x − b 1 ) ² + (y − b 2 ) ² bzw. nach Umformung

(1 − s ² )(x ² + y ² ) + c ₁ x + c ₂ y = d Division durch 1 − s ² und quadratische Erg¨ anzung

(x − p) ² + (y − q) ² = σr ² mit σ ∈ {−1, 1}

Existenz von L¨ osungen = ⇒ σ = 1 (Kreisgleichung)

(ii) Mittelpunkt und Radius:

Einsetzen von z = a + t(b − a) in |z − a| = s|z − b|

|t| = s |t − 1| ⇐⇒ t 1 = −s

1 − s , t 2 = s 1 + s

zwei Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden durch die Punkte a und b

z ₁ = 1

1 − s a − s

1 − s b, z ₂ = 1

1 + s a + s 1 + s b Mittelpunkt des Kreises

w = 1

2 (z ₁ + z ₂ ) = 1

1 − s ² a − s ² 1 − s ² b Radius

r = 1

2 |z ₁ −z ₂ | =

(1 + s ) − (1 − s)

2(1 − s ² ) a − s (1 + s ) + s (1 − s ) 2(1 − s ² ) b

= s

|1 − s ² | |b−a|

Alternative Methode

Geometrischer Beweis mit Hilfe des Kreises des Apollonius (200 v. Chr.)

|z − a| = s|z − b|

⇐⇒ festes Verh¨ altnis der Abst¨ ande der Punkte Z zu zwei gegeben Punk- ten A und B:

|AZ | / |ZB| = s

Zum Beweis sei o.B.d.A. s < 1, d.h. A liegt innerhalb des Kreises.

Punkte Z i und Z a auf der Geraden durch AB, definiert durch

|AZ _i | / |Z _i B| = s, |AZ _a | / |Z _a B| = s

Schneiden der Geraden durch Z und Z _i sowie der Geraden durch Z und Z _a

mit der Geraden durch A parallel zu ZB Punkte S i und S a

gleiche Seitenverh¨ altnisse (Strahlens¨ atze) f¨ ur die ¨ ahnlichen Dreiecke

∆(A, Z _i , S _i ) ∼ ∆(B, Z _i , Z ) und ∆(A, Z a , S a ) ∼ ∆(B, Z a , Z ) = ⇒

|AS _i |

|BZ | = |AZ _i |

|Z _i B | = s, |AS _a |

|BZ | = |Z _a A|

|Z _a B| = s

|AZ | / |BZ| = s = ⇒ |AZ | = |AS _i | = |AS _a |

Addition der Winkel in den zwei gleichschenkligen Dreiecken ∆(A, S _i , Z ) und ∆(A, S a , Z ),

2 ^ (A, Z , S i ) + 2 ^ (A, Z , S a ) + ^ (Z , A, S i ) + ^ (Z , A, S a )

| {z }

=180

= 360 ^◦

^ (Z _i , Z , Z a ) = ^ (A, Z , Z _i ) + ^ (A, Z , Z a ) = 90 ^◦ , d.h. nach dem Satz

des Thales liegt Z auf dem Kreis um M mit Durchmesser |Z _i Z _a |

Beispiel

Bestimmung von Mittelpunkt und Radius f¨ ur den Kreis C : |z | = 1

2 |z − 3i|

(i) Mittelpunkt und Radius gem¨ aß der allgemeinen Formeln:

w = 1

1 − s ² a − s ²

1 − s ² b = 1

1 − 1/4 0 − 1/4

1 − 1/4 (3i) = −i

r = s

|1 − s ² | |b − a| = 1/2

1 − 1/4 |3i| = 2

(a = 0, b = 3i, s = 1/2)

(ii) Bestimmung der Koordinatenform (z = x + iy):

Quadrieren der Gleichung |(x, y)| = |(x, y − 3)|/2 x ² + y ² = 1

4 (x ² + y ² − 6y + 9) Umformungen

3x ² + 3y ² = −6y + 9

⇐⇒ x ² + y ² + 2y = 3

quadratische Erg¨ anzung y ² + 2y = (y + 1) ² − 1 Standardform x ² + (y + 1) ² = 2 ²

Mittelpunkt: (0, −1), Radius: 2