s s A A A , A B s A , A s S 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2

Hans Walser, [20150129]

Kopunktale Geraden 1 Worum geht es?

In der Schule lernt man, dass sich die drei Schwerlinien eines Dreieckes in einem Punkt schneiden, dem Schwerpunkt. Wir fragen nun umgekehrt: Wie findet man zu drei Gera- den, die sich in einem Punkt schneiden (so genannte kopunktale Geraden) ein passendes Dreieck mit den drei gegebenen Geraden als Schwerlinien?

Analoge Frage für weitere spezielle Punkte im Dreieck.

Die Lösungen sind immer nur bis auf Ähnlichkeit machbar.

Die Lösungen basieren auf Schließungsfiguren und lassen Verallgemeinerungen zu.

2 Schwerpunkt und Schwerlinien

Gegeben sind drei Geraden s₀,s₁,s₂ mit einem gemeinsamen Schnittpunkt S (Abb. 1).

Gesucht ist ein passendes Dreieck A₀A₁A₂.

Abb. 1: Schwerlinien vorgegeben

Wir wählen den Punkt A₀ auf s₀ und ergänzen zum Parallelogramm A₀B₂A₁S gemäß Abbildung 2.

s₀

s₁ s₂

S

Abb. 2: Parallelogramm einpassen

Nun fügen wir ein zweites und ein drittes Parallelogramm gemäß Abbildung 3 ein. Wir erhalten eine Schließungsfigur. Das Dreieck A₀A₁A₂ löst unser Problem, ebenso das Dreieck B₀B₁B₂. Der Nachweis ergibt sich dadurch, dass sich die Diagonalen im Paral- lelogramm gegenseitig halbieren.

Abb. 3: Lösungen A₀

B₂ s₀

s₁ s₂

A₁ S

A₀

B₂ s₀

s₁ s₂

A₁ A₂

S

B₀ B₁

3 Höhen und Mittelsenkrechte 3.1 Höhen

Wir wählen den Punkt A₀ auf h₀ (Abb. 4) und fällen das Lot auf h₂. Der Schnittpunkt der Lotgeraden mit h₁ ist A₁.

Abb. 4: Höhen gegeben

Entsprechend fahren wir weiter und erhalten eine Schließungsfigur, welche das Problem löst (Abb. 5).

Abb. 5: Lösung A₀

h₁ h₂

h₀

A₁ H

A₀

h₁ h₂

h₀

A₁ A₂

H

3.2 Mittelsenkrechte

Mittelsenkrechte und Mittelsenkrechtenschnittpunkt eines Dreieckes sind zugleich Hö- hen und Höhenschnittpunkt im zugehörigen Kantenmittendreieck. Wir konstruieren daher zunächst analog zum Vorgehen in der Abbildung 5 das Kantenmittendreieck

M₀M₁M₂ und ergänzen dieses zum Dreieck (Abb. 6).

Abb. 6: Mittelsenkrechte 4 Winkelhalbierende

Dazu brauchte ich etwas Rechnung. An den Ecken A_i,i=0,1,2 haben wir die entspre- chenden Dreieckwinkel α_i. Weiter führen wir die drei Winkel α!_i gemäß Abbildung 7 ein.

Abb. 7: Bezeichnungen

M₀ A₀

A₁

A₂

m₁ m₂

m₀

M₁ M₂

M

A₀ w₀

w₁ w₂

A₁ A₂

1 2

0

Mit diesen Bezeichnungen ist:

α!_i =π−^α₂ⁱ⁺¹−^αi+2₂ , Indizes modulo 3

Wegen α₀+α₁+α₂ =π ergibt sich:

α!_i=π−

( )

Somit ist:

α_i

2 =α!_i−^π₂

Daher ergibt sich folgende Konstruktion: Wir subtrahieren von α!₀ einen rechten Win- kel und erhalten so ^α₂⁰ . Diesen Winkel tragen wir in einem auf w₀ gewählten Punkt

A₀ ab (Abb. 8).

Abb. 8: Halber Dreieckswinkel

Damit können wir A₁ konstruieren und durch Weiterspiegeln A₂ (Abb. 9). Wir haben erneut eine Schließungsfigur.

A₀ w₀

w₁ w₂

20

20

1 2

Abb. 9: Konstruktion des Dreieckes 5 Verallgemeinerungen

5.1 Schließungsfigur mit Parallelogrammen

Das entspricht der Lösung bei drei kopunktalen Geraden, welche Schwerlinien werden sollen.

5.1.1 Vier kopunktale Geraden

Mit vier kopunktalen Geraden erhalten wir keine Schließungsfigur, sondern eine Spirale (Abb. 10). In welchen Sonderfällen gibt es trotzdem eine Schließungsfigur?

Abb. 10: Spirale bei vier kopunktalen Geraden 5.1.2 Fünf kopunktale Geraden

Bei fünf kopunktalen Geraden ergibt sich eine Schließungsfigur (Abb. 11a).

A₀ w₀

w₁ w₂

A₁ A₂

0 2

0 2

1 2

Abb. 11a: Schließungsfigur

Für den Beweis der Schließungseigenschaft verwenden wir die Bezeichnungen der Ab- bildung 11b.

Abb. 11b: Bezeichnungen

Wir verwenden den Sinussatz in den halben Parallelogrammen. Zunächst ist:

a₁

sin( )ϕ₀ ^=sina( )^0ϕ1 ^{⇒ a1= sin}( )^ϕ0

sin( )ϕ₁ ^a0

a₀

a₀ a₁

a₁

a₁

a₂ a₂

a₂ a₃

a₃ a₃

a₄

a₄ ⁰

0

0

0

1

1 1

1 2

2 2

2

3 3

3 4

4

4

4

a₅

Analog finden wir:

a₁=^sin( )^ϕ0

sin( )ϕ₁ ^{a0, a2 = sin}( )^ϕ2

sin( )ϕ₃ ^{a1, a3=sin}( )^ϕ4

sin( )ϕ₀ ^{a2, a4 = sin}( )^ϕ1

sin( )ϕ₂ ^{a3, a5 = sin}( )^ϕ3

sin( )ϕ₄ ^a4

Man beachte den Paritätssprung nach der ersten halben Runde. Dieser Paritätssprung tritt immer bei einer ungeraden Zahl von Geraden auf.

Nun können wir einsetzen und kürzen:

a₅ = ^sin( )^ϕ3

sin( )ϕ₄ ^sin( )^ϕ1

sin( )ϕ₂ ^sin( )^ϕ4

sin( )ϕ₀ ^sin( )^ϕ2

sin( )ϕ₃ ^sin( )^ϕ0

sin( )ϕ₁ ^{a0 =a0}

Der Paritätssprung erlaubt das vollständige Kürzen. Wegen a₅ =a₀ schließt sich die Figur.

Man kann die Figur mit weiteren Parallelogrammen zu einer „schönen“ Figur ergänzen (Abb. 12).

Abb. 12: Ergänzung mit weiteren Parallelogrammen

Die nächste Runde von Parallelogrammen geht nach innen (Abb. 13).

Abb. 13: Weitere Parallelogramme Und schließlich schließt sich die Figur (Abb. 14).

Abb. 14: Schließungsfigur

5.1.3 Sechs kopunktale Geraden

Bei sechs kopunktalen Geraden ergibt sich wieder eine Spirale (Abb. 15).

Abb. 15: Sechs kopunktale Geraden 5.1.4 Sieben kopunktale Geraden

Bei sieben kopunktalen Geraden ergibt sich wieder eine Schließungsfigur (Abb. 16), die wir mit weiteren Parallelogrammen ergänzen können (Abb. 17).

Abb. 16: Sieben kopunktale Geraden

Abb. 17: Ergänzung mit Parallelogrammen

5.1.5 Paritätsproblem

Offenbar gibt es bei einer ungeraden Anzahl von Geraden eine Schließungsfigur, bei einer Geraden Anzahl eine Spirale.

5.2 Schließungsfigur mit Orthogonaltrajektorien Es ergibt sich wieder der Paritätsunterschied.

5.2.1 Gerade Anzahl kopunktaler Geraden Wir erhalten im Regelfall eine Spirale (Abb. 18).

Abb. 18: Spirale

5.2.2 Ungerade Anzahl kopunktaler Geraden

Nun ergibt sich eine Schließungsfigur. Der Beweis kann mit Trigonometrie erbracht werden (Walser 2011, S. 32, 33, 70-72).

Abb. 19: Schließungsfigur 5.3 Schließungsfiguren mit Spiegelungen

Wir beginnen mit einer Geraden mit einem beliebigen Winkel zu einer der drei vorge- gebenen kopunktalen Geraden und spiegeln dann fortlaufend an den kopunktalen Gera- den.

Es zeigt sich wiederum eine Paritätsunterscheidung.

5.3.1 Ungerade Anzahl Geraden

Wir haben eine Schließungsfigur mit einer Periodenlänge, die doppelt so groß wie die Anzahl der Geraden ist. Die Abbildung 20 zeigt die Situation bei drei Geraden.

Abb. 20: Drei Geraden

Die Schließungseigenschaft ergibt sich daraus, dass die sukzessive Spiegelung an einer ungeraden Anzahl kopunktaler Geraden auf eine einzige Geradenspiegelung reduziert werden kann. Zweimalige Anwendung dieser Abbildung ist dann die Identität.

Die Figur hat einen Inkreis (Abb. 21).

Abb. 21: Inkreis 5.3.2 Gerade Anzahl Geraden

Die sukzessive Spiegelung an einer geraden Anzahl kopunktaler Geraden ist eine Dre- hung um den gemeinsamen Schnittpunkt. Der Drehwinkel ist das Doppelte der Summe von Schnittwinkeln aufeinanderfolgender Geradenpaare. Falls der Drehwinkel in einem rationalen Verhältnis zum vollen Winkel steht, haben wir eine Schließungsfigur, sonst nicht. Im Regelfall also nicht. Die Abbildung 22 zeigt den einfachsten Fall mit zwei Geraden. Die Figur hat einen Inkreis.

Abb. 220:Schließungsfigur?

Literatur

Walser, Hans (2011): Geometrische Miniaturen. Figuren – Muster – Symmetrien.

Leipzig. EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-42-4.