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a s = n 1 = 1 = 1 () s s = = a a = = n 2 k − 1 = n = n ∑ ∑ ∑ 1 + 3 = 4 = 2 1 + 3 + 5 = 9 = 3 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 () s = 2 k − 1 = n ∑

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Academic year: 2022

Aktie "a s = n 1 = 1 = 1 () s s = = a a = = n 2 k − 1 = n = n ∑ ∑ ∑ 1 + 3 = 4 = 2 1 + 3 + 5 = 9 = 3 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 () s = 2 k − 1 = n ∑"

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(1)

Hans Walser, [20080326a], [20160627]

1 Die Summe ungerader Zahlen Zunächst die ersten Beispiele:

1=1=12 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42

sn =

(

2k−1

)

k=1

∑

n =n2

Die Summe sn der n ersten ungeraden Zahlen ist sn =n2. 2 Rechnerischer Beweis

Die ungeraden Zahlen bilden eine arithmetische Folge. Für eine arithmetische Folge ak gilt allgemein:

sn = ak

k=1

∑

n =na1+a2 n

In unserem Fall also:

sn = ak

k=1

∑

n =

(

2k−1

)

k=1

∑

n =n1+(2n−12 )=n2

Es gibt aber auch schöne geometrische Beweise.

(2)

Hans Walser: Die Summe ungerader Zahlen 2/3 3 Beweis mit Quadraten

Abb. 1: 25 Quadrate

Das große Quadrat enthält 25 kleine Quadrate. Aus der Figur rechts lesen wir ab:

1+3+5+7+9=52

4 Beweis mit Dreiecken

Abb. 2: 25 Dreiecke

Das große Dreieck enthält 25 kleine Dreiecke. Aus der Figur rechts lesen wir ab:

1+3+5+7+9=52

5 Anordnen

Die Abbildung 3a zeigt eine Stapelanordnung der ersten n ungeraden Zahlen. Die Basis- linie hat die Länge 2n – 1. In der Abbildung 3b sind vier solche Stapel in einem Quadrat der Seitenlänge 2n angeordnet.

(3)

Hans Walser: Die Summe ungerader Zahlen 3/3

a) b)

Abb. 3: Stapel und Quadrat Somit ist:

4sn =

( )

2n 2 =4n2 sn =n2

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