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Moderne Theoretische Physik III SS 2015
Prof. Dr. A. Mirlin Blatt 02, 130 Punkte
Dr. U. Karahasanovic, Dr. I. Protopopov Besprechung 08.05.2014
Die Abgabe ist jeweils bis sp¨atestens Freitag, 09:00 Uhr in den daf¨ur vorgesehenen Kasten im Eingangsbereich des Physik-Hochhauses zu t¨atigen.
1. Anwendung des Funktionaldeterminantenkalk¨uls von ¨Ubungsblatt 1 (5 + 10 + 25 = 40 Punkte, schriftlich)
(a) Maxwell-Beziehungen. Zeigen Sie, dass ∂S
∂V
T
= ∂p
∂T
V
(1) und dass daraus folgt dass ∂(T ,S)∂(p,V) = 1.
(b) Zusammenhang zwischen W¨armekapazit¨aten. Leiten Sie, entsprechend einem Be- weis aus der Vorlesung, folgende Gleichung her
cp−cV =−T ∂p
∂T
2 V
∂p
∂V
T
(2) (c) Gas in einem Beh¨alter. (5 + 10 + 10 = 25 Punkte f¨ur diesen Teil) In einem Beh¨alter mit einer durchl¨assigen Trennwanda, wird der Druck auf beiden Seiten der Trennwand durch entsprechende Bewegung von Kolben konstant gehal- ten. Den Druck auf der linken Seite bezeichnen wir mitp1, den auf der rechten Seite mitp2, wobeip2 < p1. Gas aus der linken Seite geht stetig in die rechte Seite ¨uber.
Dabei ver¨andern sich der Druck p1 und der Druck p2 nicht. Wir nehmen an, dass das Gas von jeglichem ¨außeren Medium thermisch isoliert ist.
(i) Zeigen Sie, dass sich die Enthalpie H im Verlauf dieses Prozesses nicht ¨andert.
(ii) Nehmen Sie an p2 −p1 = δp p1, p2. Bestimmen Sie den entsprechenden TemperaturunterschiedδT zwischen den zwei Teilen des Beh¨alters.
Hinweis: Sie sollten einen Ausdruck f¨ur
∂T
∂p
H in Abh¨angigkeit von cp und thermodynamischer Variablen mit Hilfe einer Zustandsgleichung V = V(T, p) erhalten.
Nehmen Sie dabei nicht die Zustandsgleichung des idealen Gases an.
(iii) Zeigen Sie, dass in diesem Prozess die ¨Anderung der Entropie positiv ist. Dis- kutieren Sie dieses Ergebnis.
2. Gummiband (10 + 20 = 30 Punkte, m¨undlich)
F¨ur ein elastisches Gummiband der L¨angelbei der TemperaturT und unter der Span- nung J wurden experimentell folgende Beziehungen gemessen
∂J
∂T
l
= al l0
1− l0
l 4!
(3) ∂J
∂l
T
= aT
l0 1 + 3 l0
l 4!
. (4)
Hier bezeichnet l0 die L¨ange des ungedehnten Bands, die als temperaturunabh¨angig angenommen wird, und aist eine Konstante.
(a) Bestimmen Sie die Zustandsgleichung des Systems, d.h. finden Sie die Spannung J(T, l) als Funktion der Temperatur T und der L¨angeldes Gummibandes.
(b) Nehmen Sie an, dass die spezifische W¨armeCl bei konstanter L¨angeltemperaturu- nabh¨ngig ist. Das Band werde nun von einer anf¨anglichen L¨angel0 und Temperatur T0auf adiabatische und reversible Weise auf eine finale L¨angel1gedehnt. Berechnen Sie die finale Temperatur T1.
Hinweis: die ¨Anderung der inneren Energie U des Gummibandes ist gegeben durch dU =T dS+J dl, wobeiJ dl die Arbeit bezeichnet die verrichtet wird um das Gummi- band um die Strecke dl zu dehnen.
3. Erzeugende Funktionen und Zentraler Grenzwertsatz (5 + 5 + 5 + 15 = 30 Punkte, m¨undlich)
Eine Zufallsvariable X sei gegeben durch ein Menge m¨oglicher Werte {x}, die sie an- nehmen kann und durch eine normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung P(x). Der Mit- telwert ist definiert als hXi=R
dxP(x)x, und die Varianz σ2 uber¨ σ2 =hX2i − hXi2. Die charakteristische Funktion φX(k) ist gegeben durch die Fouriertransformierte der Wahrscheinlichkeitsverteilung
φX(k) = Z
dxP(x)eikx. (5)
(a) Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion die Momente der Wahrscheinlich- keitsverteilung erzeugt, also
hXni= 1 in
dn
dknφX(k)|k=0. (6)
(b) Die KumulantenCn einer ZufallsvariablenX sind ¨uber die charakteristische Funk- tion φX(k) folgendermaßen definiert
φX(k) := exp X
n
Cn(X)(ik)n n!
!
. (7)
Verwenden Sie diese Definition f¨ur die Kumualanten und zeigen Sie, dass C1 dem Mittelwert, und die zweite Kumulante C2 der Varianzσ2 entspricht.
(c) Gegeben seien zwei unabh¨angige ZufallsvariablenX1undX2 mit charakteristischen FunktionenφX1(k) undφX2(k). Was ist die charakteristische Funktion der Summe X1+X2?
(d) Nehmen wir nun unabh¨angige ZufallsvariablenXi,i= 1, . . . N mit identischen Ver- teilungsfunktionen P(X) mit Mittelwert hXi und Varianz σ2 an. Wir definieren eine Zufallsvariable SN =
PN i=1Xi
N . ¨Uberpr¨ufen Sie, dass f¨ur große N die Vertei- lungsfunktion von SN eine Gaussverteilung mit MittelwerthXi und Varianz σ2/N wird.
Hinweis: Es ist n¨utzlich die statistische Unabh¨angigkeit der Xi zu verwenden und die charakteristische Funktion ΦSN(k) zu berechnen. Zeigen Sie dann, dass die Ku- mulanten von SN folgende Gleichung erf¨ullen
Cm(SN) =N1−mCm(X). (8) 4. Wahrscheinlichkeiten und Kombinatorik (10 + 10 + 10 = 30 Punkte, m¨undlich)
(a) Wie viele M¨oglichkeiten gibt esmB¨alle innKisten zu legen? Es wird angenommen, dass alle B¨alle identisch sind. Die Kisten sind unterscheidbar.
(b) Wir nehmen an, es gibt k unterschiedliche Vasen und n unterschiedliche Blumen.
Diei-te Vase kannmiBlumen aufnehmen,Pk
i=1mi=n. Auf wie viele Arten k¨onnen wir die Blumen arrangieren?
(c) Ab wie vielen Studenten ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Studenten am gleichen Tag Geburtstag haben, gr¨oßer als 1/2 ?
