Theorie F (SS2004) Musterlosung Ubungsblatt 2 04.05.04
1 a)
Die\Fundamentalbeziehung"lautet: TS =U+pV N ) S = 1
T U+
p
T V
T N.
Mit S =S(U;V;N) folgt dS = 1
T dU+
p
T dV
T dN.
Esistjetztpraktish,Dihteneinzufuhren: s=S=N; u=U=N; v =V=N ) s= 1
T u +
p
T v
T .
Mit S =S(U;V;N) istauh s=s(U;V;N)=s(u;v;N),
s hangt vonN niht explizit ab, also: s =s(u;v); ds= 1
T du+
p
T dv
Da s niht vonN abhangt, folgt ganz allgemein:
U;V;N;S sindextensiv, dasheitz.B. S(U;V;N)=S(U;V;N).DieDihten sind(trivialer-
weise) intensiv, also s(U;V;N)=s(U;V;N). Dies kann nurerfulltwerden, wenn U;V;N nur
als Quotienten (Dihten) eingehen, also s=s(U=N;V=N)oder s(U=V;U=N) oder s(U=V;V=N).
ds lat sihjetzt integrieren, wenn man T und prauswirft:
U = f
2
NkT ) u= f
2
kT ) 1
T
= f
2 k
1
u
; pV =NkT ) p
T
=k 1
v
ds= f
2 k
du
u +k
dv
v
) s s
0
= f
2 kln(
u
u
0
)+kln(
v
v
0 )
Die Integrationskonstanten sind s
0
=S
0
=N
0
; u
0
=U
0
=N
0
; v
0
=V
0
=N
0
; einsetzen liefert
S = S
0 N
N
0 +Nk
"
f
2
ln(
U
U
0
)+ln(
N
0
N )
+
ln(
V
V
0
)+ln(
N
0
N )
#
= N S
0
N
0 +Nk
"
f
2 ln(
U
U
0
)+ln(
V
V
0 ) (
f
2
+1)ln(
N
N
0 )
#
b)
Nehmen wir o.B.d.A. mal an, da das Gas aus konstanten N = N
0
Teilhen besteht und
im konstanten Volumen V = V
0
eingeshlossen ist, dann hangt U von der Temperatur ab
uber
U = f
2 N
0
kT, also
S(T)=S
0 +
f
2 N
0 kln(
kT
U
0
)+onst:
FurT !0 divergiert dies, eslat sih keinS
0
nden, so da S(T !0)=0ware.
Das \ideale Gas" isteine brauhbare Naherung furideale Gase nurbeihohen Temperaturen. Bei
T !0 mudieQuantennatur der Teilhen (Fermionen oder Bosonen) beruksihtigtwerden, die
zu einem nihtentarteten Grundzustand des Gases fuhrt. Dann folgtaus der informationstheore-
2 a)
B =B(T;S) ) dB = B
T
!
S dT +
B
S
!
T dS
M =M(T;S) ) dM = M
T
!
S dT +
M
S
!
T dS
Betrahte nun dB =0, dann
dS
dT
! S
T
!
B
) 0= B
T
!
S +
B
S
!
T S
T
!
B )
B
T
=
B
T
!
S S
B
!
T
oder dM =0:
dS
dT
! S
T
!
M
) 0= M
T
!
S +
M
S
!
T S
T
!
M )
M
T
=
M
T
!
S S
M
!
T
Im Quotienten kann gekurzt werden, solangedie festgehaltene Variable dieselbe ist:
B
M
= B
T
!
S T
M
!
S
| {z }
B
M
!
S
= 1
S
S
B
!
T M
S
!
T
| {z }
M
B
!
T
=
T
=
T
S
b)
S =S(T;M); M =M(T;B) ) S =S(T;M(T;B))
)
B
T
= S
T
!
B
= S
T
!
M +
S
M
!
T M
T
!
B
)
B
M
=T S
M
!
T
B
Maxwell: es gilt dF = SdT +BdM $ F =F(T;M), also
S
M
!
T
=
B
T
!
M
)
B
M
=
B T
B
T
!
M
Es war M =M(T;B); wir brauhen jetzt dM =0,also
dM = M
T
!
B dT +
M
B
!
T
dB =0 ) 0= M
T
!
B +
M
B
!
T B
T
!
M
)
B
T
!
=
B
T
)
B
M
=T
2
B
T
3
Die Nebenbedingung wird
uber einen Lagrange-Multiplikator eingebaut, d.h., es ist das fol-
gende Funktional zu minimieren:
F[fj ig;℄=E[j i℄+[1 h j i℄=h jHj i+[1 h j i℄
Entwiklung nah Eigenzustanden von H, j i= X
n
n
jni; hnjmi=Æ
n;m , also
F[fng;℄= X
n (E
n
)j
n j
2
+
Stationarer Punkt,
F
m
=(E
m
)
m
=0 ; F
=1 X
n j
n j
2
=0
Diese Gleihungen werden gelost, wenn man = E
k
mit
k
= 1,
m j
m6=k
= 0 setzt. k ist dabei
beliebig, d.h., das Minimum von E[j i℄ = E
k
ware ein beliebiger Energieeigenwert. Allerdings
sind die 2. Ableitungen von F gegeben durh
2
F
l
m
= Æ
l ;m (E
l
) = Æ
l ;m (E
l E
k
). Fur ein
Minimum mu dies > 0 sein, also mu fur E
k
= E
0
die Grundzustandsenergie gewahlt werden,
und es ist minE[j i℄=E
0 .
b)
Dies isteine Aufgabeaus TheorieB ...
Gegeben: SeillangeL, Massendiht =M=L; das Seilist bei d=2an der x-Ahse befestigt.
Potentielle EnergieimShwerefeld g:
Langenelement: dl = q
(dx) 2
+(dz) 2
= q
1+z 0
(x) 2
dx
Massenelement: dm = dl
Potentielle Energie: dE = gz(x)dm
Daraus ergibtsihdas Funktionalder (rein potentiellen) Energie,sowie das der Seillange:
E[z(x)℄=g d=2
Z
d=2
dxz(x) q
1+z 0
(x) 2
; L[z(x)℄= d=2
Z
d=2 dx
q
1+z 0
(x) 2
=L
NahLagrange mussen wir alsodas folgende Funktionalminimieren:
F[z(x);℄=E[z(x)℄+(L L[z(x)℄)= d=2
Z
d=2
dxK(z;z 0
;)+L
0
q
0 2
Die Variationder \Bahn"z(x)durhz !z^=z+Æz und z 0
!z^ 0
=z 0
+(Æz) 0
und Nullsetzenvon
ÆF ergibt eine Euler{Lagrange-Gleihung,
d
dx K
z 0
= K
z
die Variation nah dem Multiplikator , F
=0, reproduziertdieNebenbedingung L=L.
Anstatt dieEL-Gleihung zu losen, kann man eine Erhaltungsgroeausnutzen: das Analogonzur
Gesamtenergie ist
Q= K
z 0
z 0
K =
gz
q
1+(z 0
) 2
; dQ
dx
=0
Dies lat sih leiht durh Einsetzen von Q und Ausnutzen der EL-Gleihung nahrehnen.
Auosen vonQ nah z 0
und Einfuhrengeeigneter Abkurzungen ergibt
e
z 0
= 1
e
Q p
e
z 2
1 )
de
z
p
e
z 2
1
= dx
e
Q
mit e
Q= Q
g
; e
z = g z
Q
Q
!
Integration beider Seiten, Auosen nah e
z und Einsetzen von e
z ergibt
arosh ( e
z)+C = x
e
Q
) z =+ e
Qosh x
e
Q C
!
Jetzt mussen noh;C und e
Q bestimmtwerden:
Aus z(d=2)=z( d=2)=0folgt C =0 und = e
Qosh (d=2 e
Q), also
z(x)= e
Q h
osh (x=
e
Q) osh (d=2 e
Q) i
Aus der Nebenbedingung L=L[z(x)℄, mitz(x) eingesetzt,folgt
L= d=2
Z
d=2 dx
q
1+(z 0
) 2
= d=2
Z
d=2 dx
q
1+sinh 2
(x=
e
Q)=2 d=2
Z
0
dx osh (x=
e
Q)=2 e
Qsinh d
2 e
Q
!
Die Gleihung fur e
Q, L
2 e
Q
=sinh d
2 e
Q
!
, hat zwei Losungen e
Q= e
Q
0
; e
Q
0
>0. Die Losung
e
Q= e
Q ergibtein z(x)<0,also eindurhhangendes Seil, und damitdie kleinereEnergie.
