Die W¨armekapazit¨at cV schreiben wir als Ableitung cV = T ∂S∂T V,N = ∂U∂T V,N

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zu Moderne Theoretischen Physik III¨ SS 2016

Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 8

PD Dr. B. Narozhny, Dr. P. Schad L¨osungsvorschlag

1. Bose-Einstein-Kondensation (30 Punkte, schriftlich) Bei einer kritischen Temperatur Tc kondensiert das dreidimensionale ideale Bosegas zu einem Bose-Einstein-Kondensat. Die Ableitung c⁰_V(T) = ^∂c_∂T^V

V,N hat bei T_c einen Sprung ∆c⁰. Berechnen Sie ∆c⁰.

Die W¨armekapazit¨at c_V schreiben wir als Ableitung c_V = T ^∂S_∂T

V,N = ^∂U_∂T

V,N. Die EnergieU erhalten wir aus (spinlose Teilchen)

U =X

k

_kn_B(_k) (1)

mit Ein-Teilchen-Energien _k = ^~_2m^2k2 und der Bosefunktion n_B(_k) = 1

e^β(k−µ)−1. (2)

Wir k¨onnen zun¨achst die innere Energie als Funktion von (T, V, µ) exakt berechnen.

Die Teilchen im Grundzustand haben k = 0 und tragen nicht bei, wir k¨onnen deshalb die Summe in (1) als Integral berechnen

U = V m³²

√2π²~³ Z ∞

0

³²d

e^β(−µ)−1 = V m³²T⁵²

√2π²~³ Z ∞

0

y³²dy

e^y−βµ−1 (3) Das Integral kann man mit Polylogarithmen ausdr¨ucken (siehe Vorlesung, Sch¨on-Skript oder Schwabl):

gs(z) = Lis(z) =

∞

X

n=1

zⁿ n^s = 1

Γ(s) Z ∞

0

t^s−1

e^t/z−1dt (4) Es gibt f¨ur s 6= 1,2,3, . . . eine Reihenentwicklung der Polylogarithmen um µ= 0, die wir sp¨ater noch brauchen:

g_s(e^βµ) = Γ(1−s) (−βµ)^s−1+

∞

X

k=0

ζ(s−k) k! (βµ)^k

= Γ(1−s) (−βµ)^s−1+ζ(s) + ζ(s−1)µ

2 +O(µ²) (5)

Es ist g_s(1) =ζ(s) mit der Riemannschen ζ-Funktion.

Mit den Polylogarithmen kann man die innere Energie ausdr¨ucken als (λ_T =q

2π~² mkBT) U(T, V, µ) = 3V m³²(k_BT)⁵²

4√ 2π³²~³

g_5/2(e^βµ) = 3k_BT V

2λ³_T g_5/2(e^βµ) (6)

Die richtige W¨armekapazit¨at istc_V,N = ^∂U_∂T

V,N bei festemN (und nicht, wie im Sch¨on- Skript oder im Schwabl berechnet, ^∂U_∂T

V,µ). Die W¨armekapazit¨at ergibt sich zu (f¨ur T < T_c istµ= 0, wurde soweit auch in der Vorlesung besprochen)

c_V =

(_15kBV

4λ³_T g_5/2(1), T < T_c

15kBV

4λ³_T g_5/2(e^βµ)− _2λ^3V3 T

µ

Tg_3/2(e^βµ) + _2λ^3V3 T

∂µ

∂Tg_3/2(e^βµ), T > Tc. (7) Es gibt also einen Beitrag ∝ _∂T^∂µ zur W¨armekapazit¨at. In der zweiten Ableitung ^∂c_∂T^V gibt es weitere Beitr¨age dieser Art, die insbesondere f¨ur den Sprung ∆c⁰ verantwortlich sind. Um diese Beitr¨age zu erfassen braucht man das chemische Potential als Funktion der Temperatur, µ(T), bzw. einen N¨aherungsausdruck f¨ur µ(T & T_c). Einen solchen Ausdruck k¨onnen wir aus der Gleichung

N =X

k

n_B(_k) =X

k

1

e^β(k−µ)−1 (8)

erhalten, durch Berechnung von N und aufl¨osen nach µ.

Wir berechnen N: In der N¨ahe der kritischen Temperatur T ∼ T_c ist die Anzahl der Bosonen im Grundzustand klein, sie wird hier vernachl¨assigt. Wir k¨onnen deshalb direkt die Integraldarstellung verwenden:

N =V

Z d³k (2π)³

1

e^β(k−µ)−1 = V 2π²

Z ∞

0

k²dk e^β(k−µ)−1

= V m³²

√2π²~³ Z ∞

0

√d

e^β(−µ)−1 = V(mT)³²

√2π²~³ Z ∞

0

√ydy

e^y−βµ−1 (9) Am Phasen¨ubergang bei T_c istµ= 0, oberhalb vonT_c wird µ <0, ist aber immernoch klein, es bietet sich also an, (9) in kleinem µ zu entwickeln. Leider funktioniert eine naive Entwicklung von (9) um µ= 0 nicht, weil man divergente Integrale erh¨alt. Das Problem kann auf zwei Arten gel¨ost werden: entweder man integriert und erh¨alt eine Darstellung N ∝ g_3/2(e^βµ), die man dann mit (5) in kleinen µ entwickeln kann; oder man macht eine Absch¨atzung des Integrals f¨ur kleine µ.

Die erste Variante: das Integral in (9) ergibt

√π

2 g_3/2(e^βµ), und f¨urg_3/2 setzen wir direkt die Entwicklung ein (Γ(−¹₂) =−2√

π):

N = V m³²(k_BT)³² (2π)³²~³

g_3/2(e^βµ)⁽⁵⁾≈ V λ³_T

g_3/2(1)−2√ πp

−βµ

(10) Aufl¨osen nachµ liefert auch schon das Ergebnis (16) (mit N0(T)).

Die zweite Variante (wie im Landau 5): wir f¨uhren N₀(T) ein, die Teilchenzahl, die das System im Gleichgewicht bei T > T_c h¨atte, wenn weiterhin µ= 0 w¨are (g_3/2(1) = ζ(3/2))

N₀(T) = V m³²

√2π²~³ Z ∞

0

√d e^β−1 = V

λ³_Tg_3/2(1) (11) Am Phasen¨ubergang T =T_c istN₀(T_c) =N, daraus folgt

N₀(T) = T

T_c 3/2

N, T_c= 2π~² mk_B

N V g_3/2(1)

2/3

. (12)

MitN₀(T) k¨onnen wir (9) schreiben als N =N0(T) + V m³²

√2π²~³ Z ∞

0

1

e^β(−µ)−1− 1 e^β−1

√

d. (13)

In (9) sieht man, dass N₀(T) f¨ur T > T_c anw¨achst. Die Teilchenzahl insgesamt ist aber konstant, d.h.µstellt sich so ein, dass der zweite Term in (13) das Wachstum vonN₀(T) kompensiert.

Wie k¨onnen wir den zweiten Term in (13) f¨urT &T_c absch¨atzen? In der Region µ ist die Differenz und damit der Beitrag zum Integral klein. Der Hauptbeitrag zum Inte- gral kommt deshalb aus kleinen ∼µT und wir k¨onnen die Exponentialfunktionen entwickeln:

1

e^β(−µ)−1− 1 e^β−1

,µk_BT

≈ k_BT

−µ −k_BT

= µk_BT

(−µ) = µk_BT

(+|µ|) (14) Das Integral kann also durch

Z ∞

0

1

e^β(−µ)−1 − 1 e^β−1

√ d≈

Z ∞

0

µk_BT d

√(+|µ|) =−πk_BTp

|µ| (15) gen¨ahert werden. Einsetzen in (13) und aufl¨osen nach µergibt

µ(T, V, N) = −2π²~⁶ m³

N0(T)−N k_BT V

2

. (16)

Mit der Entwicklung (16) sind wir in der Lage, den Sprung ∆c⁰_V in der Ableitung der W¨armekapazit¨at zu berechnen. F¨ur T > T_c ist c_V, Gl. (7),

cV = 15k_BV

4λ³_T g_5/2(e^βµ)− 3V 2λ³_T

µ

Tg_3/2(e^βµ) + 3V 2λ³_T

∂µ

∂Tg_3/2(e^βµ), (17) Im Grenzwert T → T_c folgt µ → 0, auch _∂T^∂µ → 0. Nur Terme, in denen nach der Ableitung die Differenz (N₀(T)−N) nicht mehr vorkommt sind im GrenzwertT →T_c endlich. Der Beitrag aus dem ersten Term in (17) wird durch einen identischen Beitrag aus c_V(T < T_c) gek¨urzt. Der einzige Term der zum Sprung beitr¨agt ist der, bei dem die T-Ableitung auf _∂T^∂µ wirkt. Der Term ist

∂²µ

∂T²

V,N

T=Tc

=−4π²~⁶k_B m³V²

1 k_BT

∂N₀(T)

∂T 2

T=Tc

. (18)

Wir verwenden ^∂N_∂T^0(T) = ^3N_2T^0(T) und (12) um _V2(k^NB²Tc)³ zu ersetzen:

∂²µ

∂T² T=Tc

=−9kB

8π

g_3/2² (1)

T_c . (19)

F¨ur den Sprung bei T =T_c erhalten wir also

∆c⁰_V = 3V 2λ³_T

∂²µ

∂T²g_3/2(e^βµ) T=Tc

=−27(g_3/2(1))² 16π

kBN

T_c ≈ −3,67kBN

T_c (20) Wir haben hier wieder (12) verwendet.

2. Das ultrarelativistische entartete Fermigas (5 + 10 + 5 = 20 Punkte, schriftlich) (a) Die Ergebnisse von Blatt 7, Aufgabe 1 (b) sind

U_rel = c~ 4

3⁴π²N⁴ V

1/3

(21) und

P_rel = c~ 4

3π²N⁴ V⁴

1/3

(22) Wir vergleichen die Ergebnisse und sehen, dass

P = U

3V bzw. P V = U

3. (23)

Ziel in (b) und (c) ist, Ω und U als Integrale ¨uber die Fermifunktion auszudr¨ucken.

Es ist praktisch, daf¨ur die Zustandsdichteν() benutzen. Die Zustandsdichteν() eines ultrarelativistischen Gases in 3 Dimensionen ist

ν() = 1 V

X

p

δ(−_p) =

Z d³p

h³ δ(−cp) = 4π h³

Z

dp p²δ(−cp) = 4π

(hc)³². (24) Die Zustandssummen k¨onnen jetzt mit

1 V

X

p

F(_p) = Z ∞

0

dν()F() (25)

in Integrale ¨uberf¨uhrt werden.

(b) Das großkanonische Potential formen wir wie folgt um:

Ω = −kTX

λ

ln(1 +e^{−β(λ−µ)}) =−2kTX

p

ln(1 +e^{−β(p−µ)})

= −2kT V Z ∞

0

dν() ln(1 +e^−β(−µ))

(24)= −2kT 4πV (hc)³

Z ∞

0

d²ln(1 +e^−β(−µ))

part. Int.

= −8πV

(hc)³ Z ∞

0

d³ 3

1

e^β(−µ)+ 1. (26)

Integrale dieser Art werden als Fermi-Dirac-Integrale bezeichnet, sie k¨onnen auch durch Polylogarithmen ausgedr¨uckt werden.

(c) Die innere Energie ist

U = X

λ

λf(λ) = 2X

p

p

1 e^β(p−µ)+ 1

(24)= 24πV (hc)³

Z ∞

0

d ³ 1

e^β(−µ)+ 1 (27)

Wir sehen direkt, dass der Zusammenhang Ω =−U/3 erf¨ullt ist.

3. Thermodynamik von Phononen (10 + 10 + 20 + 10 = 50 Punkte, m¨undlich) (a) Wir haben die Lagrangefunktion:

L =T −U (28)

mit der kinetischen und potentiellen Energie:

T = m 2

X

n

( ˙u²_n+ ˙s²_n) U = K

2 X

n

(u_n−s_n)² +G 2

X

n

(u_n+1−s_n)² Mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen:

d dt

∂L

∂u˙_n

= ∂L

∂u_n

d dt

∂L

∂s˙_n

= ∂L

∂s_n

folgen die Bewegungsgleichungen:

m¨un =−K(un−sn)−G(un−sn−1)

m¨s_n =−K(s_n−u_n)−G(s_n−u_n+1) (29) Der Ansatz:

un(t) = ue^i(kxn−ωt) sn(t) = se^i(kxn−ωt) wobeix_n =n·a ¹. Also:

un(t) = ue^i(kna−ωt) sn(t) = se^i(kna−ωt) (30) Dieser Ansatz f¨uhrt mit den periodischen Randbedingungen (einer geschlossenen Kette) mitN Elementarzellen (in der jeweils 2 Massen sitzen):

u_n+N(t) = u_n(t) s_n+N(t) =s_n(t) f¨ur die u-Massen zu:

ueik(n+N)a−ωt

=ue^ikna−ωt → e^{ikN a} = 1 → kN a= 2πm mit m∈Z sowie dasselbe f¨ur die s-Massen. Also haben wir die Einschr¨ankung an die Impulse:

k = 2πm

aN m= 0,±1,±2, . . . (31) Wichtig ist des weiteren, dass die Schwingungen in (30) eindeutig sind, es also keine zwei Impulsvektorenk 6=k⁰ gibt, welche dieselbe Schwingung beschreiben. Sei hierzu:

k⁰ =k+2π a

1eigentlich m¨usste hier bei s_n der Ortx_n=n·a+dgew¨ahlt werden, wodurch ein zus¨atzlicher Faktor e^ikd auftritt. Dieser kann jedoch in die Konstante/Amplitudesabsorbiert werden. Effektiv betrachten wir hier den Fall, in dem jede Masse um ihre Ruhelage schwingt, also um den Ortx_n oszilliert.

sodass:

u_n,k⁰(t) =e^{i(k0na−ωt)}=ei(kna+2π−ωt)

=e^i(kna−ωt) =u_n,k(t)

Damit die Schwingung f¨ur die k-Vektoren also eindeutig ist, m¨ussen wir sie auf einen Bereich von ^2π_a einschr¨anken, w¨ahle also z.B.:

−π

a < k≤ π a

(b) Setze nun den Ansatz (30) in die Bewegungsgleichungen (29) ein:

−mω²ue^i(kna−ωt)=−K(ue^i(kna−ωt)−se^i(kna−ωt))−G(ue^i(kna−ωt)−sei(k[n−1]a−ωt)

) 0 = [K+G−mω²]u−[K+Ge^−ika]s

−mω²se^i(kna−ωt)=−K(se^i(kna−ωt)−ue^i(kna−ωt))−G(se^i(kna−ωt)−uei(k[n+1]a−ωt)

) 0 = [K+G−mω²]s−[K +Ge^ika]u

und schreiben dies in Matrixform:

K+G−mω² −[K+Ge^−ika]

−[K+Ge^ika] K+G−mω² u s

= 0 (32)

F¨ur nichttriviale L¨osungen (u, s) 6= 0 muss die Matrix singul¨ar sein, ihre Determi- nante also 0:

K+G−mω² −[K+Ge^−ika]

−[K+Ge^ika] K+G−mω²

= (K+G−mω)²−(K+Ge^−ika)(K+Ge^ika) = 0 Dies ist ist ein Polynom 4. Grades mit Termen ω⁴, ω², ω⁰ und l¨asst sich via Substi- tution und abc-Formel l¨osen mit:

ω_±² = K+G m ± 1

m

pK²+G²+ 2KGcos(ka) (33) also (mit der Wahl ω±>0):

ω_± =

rK+G m ± 1

m

pK²+G²+ 2KGcos(ka)

F¨ur kleine k·a1 (was gerade dem Fall entspricht, dass sich alle Elementarzellen ( also je u_n und s_n ) gleich verhalten, bekommen wir:

ω_±² = K+G m ± 1

m

pK²+G²+ 2KGcos(ka)

≈ K +G m ± 1

m

pK²+G² + 2KG−KG(ka)²

≈ K +G m ± 1

m √

K²+G²+ 2KG− KG(ka)² 2√

K²+G² + 2KG

= K+G

m (1±1)∓ KG

2(K+G)(ka)²

g=1

g=0.5

ka/π

(+)

(−)

(−) (+)

0 0.5 1 1.5 2

−0.5 0

0.5 1 1.5 2

−0.5 0.5

−1 0 0.5 1

1 0

−1

Abbildung 1: Harmonische Kette Also f¨urk·aq:

ω₊ ≈

r2(K+G)

m ≈konst.

ω− ≈ s

KG

2(K+G)ka∼k (34)

Genau diese N¨aherungen werden wir sp¨ater auch in Aufgabe 2 benutzen. Nun be- rechnen wir noch das Verh¨altnis ^u_s f¨ur ka→0. Weil die obige Matrix nun singul¨ar ist, sind beide Zeilen ¨aquivalent und es gen¨ugt, die obige Zeile zu betrachten:

(K +G−mω_±²)u−(G+Ke^−ika)s= 0

→ s

u = K+G−mω²_± K+Ge−ika

(33)= ∓

pK² +G²+ 2KGcos(ka) K+Ge^−ika

ka→0∓

√K²+G²+ 2KG K+Ge^−ika =∓1

Also schwingen die s_n und u_n f¨ur ω₊ gegenphasig und f¨ur ω− gleichphasig. Man spricht auch von optischen(ω+) und akustischen (ω−) Phononen, weil z.B. in einem NaCl-Kristall beim Einstrahlen einer optischen (also em.) Welle die Anionen und Kationen einer Elementarzelle durch das Feld nat¨urlich gerade gegenphasig schwin- gen. Ein akustischer Schallimpuls hingegen f¨uhrt zu einer gleichphasigen Auslen- kung der Atome.

Wegen der Einschr¨ankung:

−π

a < k≤ π a

(31)→ −π

a < 2πm aN ≤ π

a → −N

2 < m≤ N 2

gibt es genau N k-Werte und damit N optische und N akustische Moden. Die Ge- samtzahl 2N der Moden entspricht gerade die Anzahl der Massen in der Kette.

Quantization of phonons and thermodynamics

(c) Our system is just a collection of harmonic oscillators. Every eigenstate of the complete system can be described by specifying the excitation level n_λ,k of all the individual oscillators, i.e. by the number of phonons in each mode. The energy of the system is

E{n_λ,k} =X

λ=±

X

k

ω_λ(k)n_λ,k (35)

and the partition function reads Z =X

nλ,k

e^{−βE{nλ,k}} = Y

λ=±

Y

k

∞

X

n=0

e^−βωλ,kn = Y

λ=±

Y

k

1

1−e^−βωλ,k, β = 1/k_BT (36) The free energy of the system (or the Ω-potential of the phonon gas) is given by

Ω = k_BT N aX

λ

Z π/a

−π/a

dk 2πln

1−e^−βωλ(k)

(37) We compute now the free energy in each of the temperatures intervals.

At largest temperatures the product βω_λ(k) is small for all the modes. We can expand the expression under the integral and get

Ω = kBT N aX

λ

Z π/a

−π/a

dk

2πlnω_λ(k)

k_BT (38)

The heat capacity is given by

C_V =−T ∂_T²Ω = k_BN aX

λ

Z π/a

−π/a

dk

2π = 2k_BN (39)

This is in full agreement with the equidistribution theorem.

At higher temperatures the optical phonons are are frozen away and Ω =k_BT N a

Z π/a

−π/a

dk

2πlnω−(k)

k_BT (40)

C_V =k_BN (41)

At lowest temperatures we only the low-lying bosonic modes matter so that we can linearize the bosonic spectrum (optical phonons are fully out)

ω−(k) =c|k|, c= s

KG

2(K+G)a. (42)

Thus,

Ω = 2k_BT N a Z ∞

0

dk 2πln

1−e^−βck

=−πN ak²_BT²

6c , (43)

CV ∝T. (44)

(d) In D spacial spacial dimensions there areDacoustic modes. They all contribute to to the low temperature behavior of C_V. We have just like in the previous exercise

Ω =k_BT X

i

Z d^Dk (2π)^D lnh

1−e^{−βci(ˆk)|k|}i

=k_BT X

i

Z ∞

0

k^D−1dk (2π)^D

Z

dˆnlnh

1−e^{−βci(ˆk)|k|}i

∝T^D+1. (45) Correspondingly,

CV ∝T^D. (46)