Zeigen Sie, dass ∂S ∂V T = ∂p ∂T V und dass daraus folgt dass ∂(T,S)∂(p,V

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zur Theoretische Physik F¨ SS 2016

Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 3

PD Dr. B. Narozhny, Dr. P. Schad Besprechung 06.05.2016

1. Anwendung des Funktionaldeterminantenkalk¨uls

von ¨Ubungsblatt 1: (35 Punkte, m¨undlich)

(a) Maxwell-Beziehungen. Zeigen Sie, dass ∂S

∂V

T

= ∂p

∂T

V

und dass daraus folgt dass ^∂(T,S)_∂(p,V) = 1 (Definition siehe Blatt 1).

(b) Zusammenhang zwischen W¨armekapazit¨aten. Leiten Sie, entsprechend einem Be- weis aus der Vorlesung, folgende Gleichung her

c_p−c_V =−T

∂p

∂T

²

V

∂p

∂V

T

(c) Gas in einem Beh¨alter. In einem Beh¨alter mit einer durchl¨assigen Trennwand a, wird der Druck auf beiden Seiten der Trennwand durch entsprechende Bewegung des Kolbens konstant gehalten. Den Druck auf der linken Seite bezeichnen wir mit p₁, den auf der rechten Seite mit p₂, wobei p₂ < p₁. Gas aus der linken Seite geht stetig in die rechte Seite ¨uber. Dabei ver¨andern sich der Druck p1 und der Druck p₂ nicht. Wir nehmen an, dass das Gas von jeglichem ¨außeren Medium thermisch isoliert ist.

(i) Zeigen Sie, dass sich die Enthalpie H im Verlauf dieses Prozesses nicht ¨andert.

(ii) Nehmen Sie an p₂ − p₁ = δp p₁, p₂. Bestimmen Sie den entsprechenden TemperaturunterschiedδT zwischen den zwei Teilen des Beh¨alters.

Hinweis: Sie sollten einen Ausdruck f¨ur

∂T

∂p

H in Abh¨angigkeit von c_p und thermodynamischer Variablen mit Hilfe einer Zustandsgleichung V =V(T, p) erhalten, ohne die Zustandsgleichung des idealen Gases zu verwenden.

(iii) Zeigen Sie, dass in diesem Prozess die ¨Anderung der Entropie positiv ist. Dis- kutieren Sie dieses Ergebnis.

2. Erzeugende Funktionen und Zentraler

Grenzwertsatz: (25 Punkte, schriftlich)

Eine Zufallsvariable X sei gegeben durch ein Menge m¨oglicher Werte {x}, die sie an- nehmen kann und durch eine normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung P(x). Der Mit- telwert ist definiert als hXi=R

dxP(x)x, und die Varianz σ² uber¨ σ² =hX²i − hXi². Die charakteristische Funktion φ_X(k) ist gegeben durch die Fouriertransformierte der Wahrscheinlichkeitsverteilung

φ_X(k) = Z

dxP(x)e^ikx.

(a) Zeigen Sie, dass die charakteristische Funktion die Momente der Wahrscheinlich- keitsverteilung erzeugt, also

hXⁿi= 1 iⁿ

dⁿ

dkⁿφ_X(k)|_k=0.

(b) Die Kumulanten Cn einer ZufallsvariablenX sind ¨uber die charakteristische Funk- tion φ_X(k) folgendermaßen definiert

φX(k) := exp X

n

Cn(X)(ik)ⁿ n!

! .

Verwenden Sie diese Definition f¨ur die Kumualanten und zeigen Sie, dass C₁ dem Mittelwert, und die zweite Kumulante C2 der Varianz σ² entspricht.

(c) Gegeben seien zwei unabh¨angige ZufallsvariablenX1 undX2 mit charakteristischen Funktionenφ_X1(k) und φ_X2(k). Was ist die charakteristische Funktion der Summe X₁+X₂?

(d) Nehmen wir nun unabh¨angige ZufallsvariablenX_i,i= 1, . . . N mit identischen Ver- teilungsfunktionenP(X) mit MittelwerthXiund Varianzσ² an. Wir definieren eine Zufallsvariable S_N = (PN

i=1X_i)/N. ¨Uberpr¨ufen Sie, dass f¨ur große N die Vertei- lungsfunktion vonS_N eine Gaussverteilung mit Mittelwert hXi und Varianz σ²/N wird.

Hinweis: Es ist n¨utzlich die statistische Unabh¨angigkeit der X_i zu verwenden und die charakteristische Funktion Φ_SN(k) zu berechnen. Zeigen Sie dann, dass die Ku- mulanten von S_N folgende Gleichung erf¨ullen

C_m(S_N) =N^1−mC_m(X).

3. Gaußverteilung f¨ur mehrere Variablen: (25 Punkte, schriftlich) Die Gaußverteilungρ(ξ₁, . . . , ξ_M) f¨ur die stochastischen Variablenξ₁, . . . ξ_M sei definiert durch

ρ(ξ₁, . . . , ξ_M) = s

det(A)

(2π)^M ·exp −1 2

M

X

i,j=1

ξ_iA_ijξ_j

!

(1) Da ρ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, muss diese normiert sein, d.h.

Z

dξ1. . . dξMρ(ξ1, . . . , ξM) = 1.

Die MatrixAmuss symmetrisch und positiv definit sein. Es ist hilfreich, die Inverse der MatrixA_ij einzuf¨uhren:G_ij = [A⁻¹]_ij. Aus A_ij =A_ji folgt dann auch G_ij =G_ji. Berechnen Sie die folgenden Gr¨oßen:

(a) den Mittelwert

hξ_ii= Z

dξ₁. . . dξ_Mξ_iρ(ξ₁, . . . , ξ_M),

(b) die Standardabweichung

hξ_i²i − hξ_ii², (c) den Korrelator

hξ_iξ_ji, (d)

*

exp iβ

M

X

k=1

ξ_k

!+

.

Hinweis:F¨uhren Sie eine quadratische Erg¨anzung durch (β sei eine reelle Konstan- te).

Betrachten wir nun eine zeitabh¨angige stochastische Variable ξ(t) im Zeitintervall [0, τ]. Man sagt,ξ(t) sei Gauß-verteilt, wenn die Verteilungsfunktion f¨ur die Funk- tion ξ(t) durch

ρ({ξ(t)})∼exp

−1 2

Z τ

0

dt Z τ

0

dt⁰ ξ(t)g⁻¹(t−t⁰)ξ(t⁰)

.

gegeben ist.

(e) Um eine Interpretation f¨ur obige Verteilungsfunktion zu finden, diskretisieren Sie die Zeit in M Zeitintervalle ∆t. Bringen Sie die diskretisierte Verteilungsfunktion in die Form der Gleichung (1).

(f) Berechnen Sie den Mittelwert

exp

i Z τ

0

dt ξ(t)

,

indem Sie die diskretisierte Version benutzen und danach das Ergebnis wieder durch kontinuierliche Integrale ausdr¨ucken.

(g) Berechnen Sie die Korrelationsfunktion hξ(t)ξ(t⁰)i. Finden Sie daraus eine physi- kalische Interpretation f¨ur die Gr¨oße g(t −t⁰). Unter welchen Umst¨anden ist die Diskretisierung der Zeit eine gute N¨aherung?

4. Station¨are L¨osung der Liouville-Gleichung: (15 Punkte, m¨undlich) Betrachten Sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, t), wobei x = (q,p) ein Vektor im Phasenraum ist. Zeigen Sie nun mit Hilfe der klassischen Liouville-Gleichung, dass eine Gibbs-Verteilung ρ, die nur ¨uber die Energie von x abh¨angt, station¨ar ist,

∂

∂tρ H(x)

= 0 .