1. Teilchen im zweidimensionalen harmonischen Potential

UNIVERSIT ¨ AT LEIPZIG

INSTITUT F ¨ UR THEORETISCHE PHYSIK

Quantenmechanik I Ubungsblatt 7 ¨

Solutions

1. Teilchen im zweidimensionalen harmonischen Potential

Wegen Abh¨angigkeit der Wechselwirkung von (x − y) lohnt es sich die Relativkoordinate und die Schwerpunktkoordinate einzuf¨uhren:

2r = x − y 2s = x + y.

Eine einfache Umrechnung der patiellen Ableitungen f¨uhrt auf

∂ _s = ∂ _x + ∂ _y

∂ _r = ∂ _x − ∂ _y .

Mit Hilfe von diesen Koordinaten der Hamiltonoperator nimmt eine einfache Form:

H = ~ ω 2

− 1

2 ∂ _s ² + 2s ² − 1

2 ∂ _r ² + 2(1 + 4α ² )r ²

Eine weitere Substitution, x ⁰ = s √

2 y ⁰ = r √

2 · (1 + 4α ² ) ^{1 / 4}

reduziert endlich das Problem zu zwei harmonischen Oszillatoren:

H = ~ ω 2

− ∂ _x ²

+ (x ⁰ ) ² + ~ ω ⁰

2

− ∂ ² _y

+ (y ⁰ ) ² . wobei

ω ⁰ = ω √

1 + 4α ²

f¨ur die Frequenz der Schwingung in der relativen Richtung steht. Die Aquipotentiallinien sind durch ¨

(x + y) ² + (1 + 2α ² )(x − y) ² = 2V

gegeben. Sie beschreiben eine um π/4 gedrehte Ellipse mit den Halb- achsen der L¨ange √

2V und p

2V /(1 + 2α ² ).

2. Drehimpuls im zweidimensionalen Fall Seien x und y dimensionslos. Dann gilt

∂

∂ϕ = x∂ _y − y∂ _x =

a + a ^∗

√ 2

b − b ^∗

√ 2

−

b + b ^∗

√ 2

a − a ^∗

√ 2

= a ^∗ b − ab ^∗ ,

wobei die Orts- und Impulsoperatoren durch die Erzeugungs- und Ver- nichtungsoperatoren ausgedr¨uckt worden sind. Nun muss offensichtlich [a, b] = 0 = [a, b ^∗ ] wegen ∂ x (y) = 0 = ∂ y (x). Damit erhalten wir

J = i(ab ^∗ − a ^∗ b).

Dieser Operator ist selbstadjungiert weil a ^∗ adjungiert zu a und b ^∗ ad- jungiet zu b sind. Unter Benutzung der bekannten Kommutationsregeln [a, a ^∗ ] = 1 = [b, b ^∗ ] finden wir unmittelbar

[J, a] = ib, [J, b] = − ia.

(Die ¨ubrigen Kommutatoren folgen via hermitischer Konjugation der obigen Regeln.) Nun ergibt sich (wegen Jψ 0 = 0)

Jψ a = Ja ^∗ ψ 0 = a ^∗ Jψ 0 + ib ^∗ ψ 0 = ib ^∗ ψ 0 ,

und damit kann ib ^∗ ψ 0 nicht proportional zu ψ _a sein (z.B. wegen (a ^∗ ψ 0 , b ^∗ ψ 0 ) = 0.).

Dagegen

Jψ + = 1

√ 2 [ib ^∗ + i( − i)a ^∗ ]ψ 0 = ψ + ,

d.h. der angeregte Zustand ψ + ist ein Eigenzustand des Drehimpulses

(besitzt ein scharfes Drehimpuls).

3. Winkeloperator in der Quantenmechanik

Die Eigenfunktionen, ψ m , des Drehimpulsoperators, J = − i∂ ϕ , zu den Eigenwerten m ∈ R , erf¨ullen

− i∂ ϕ ψ m = mψ m

d.h. bis auf die Normierung gilt

ψ m = e ^imϕ .

Nun ψ _m (0) = ψ _m (2π) gilt nur wenn m ganzzahlig ist, m ∈ Z . Die Kommutationsregel

[ ˆ ϕ, J ] = i ~ ,

wobei ˆ ϕ der potenziellen Winkeloperator bezeichnet, hat wirklich kein Sinn, was man sofort bei der Berechnung von Erwartungswerten sieht:

(ψ n , [ ˆ ϕ, J ]ψ n ) = (ψ n , J ϕ ˆ − ϕJ ψ ˆ n ) = (n ψ n , ϕ ψ ˆ n ) − (ψ n , ϕn ψ ˆ n ) = 0.

(Man beachte, dass ˆ ϕ als ein Multiplikationsoperator beschr¨ankt sein sollte, (f, ϕf ˆ ) ≤ 2π || f || ² .) Anderseits f¨uhrt die Kommutationsregel auf

(ψ n , [ ˆ ϕ, J]ψ n ) = (ψ n , i ~ ψ n ) = i ~ .