a)Zeigen Sie, daß der Zustand (1) ein Eigenzustand des Operatorsaist

(1)

DEPARTMENT F ¨UR PHYSIK

Prof. Dr. D. L¨ust 4. Dezember 2006

Ubungen zur QUANTENMECHANIK I (T III) im WS 2006/2007¨

— Blatt 8 —

Aufgabe 1: Koh¨arente Zust¨ande des einfachen harmonischen Oszillators Der Hamilton-Operator des Systems sei

H = p²

2m +mω²x² 2 =~ω

µ

a^†a+ 1 2

¶

mit

H|ψni=En|ψni , En =~ω µ

n+ 1 2

¶

, hψm|ψni=δmn. Es sei

|ψzi=

∞

X

n=0

cn(z)|ψn> mit cn(z) = zⁿ

√n!e⁻¹²^|z|² (1)

mit einer beliebigen komplexen Zahl z eine ¨Uberlagerung von Eigenzust¨anden.

a)Zeigen Sie, daß der Zustand (1) ein Eigenzustand des Operatorsaist. Bestimmen Sie den zugeh¨origen Eigenwert.

b) Zeigen Sie, daß

hψ_z|ψ_z⁰i= exp µ

−1 2

£|z−z⁰|²−(z^∗z⁰−zz^0∗)¤

¶

gilt. Was ergibt sich insbesondere f¨ur z =z⁰? c) Zeigen Sie, daß der Zustandsvektor

|ψz(t)i= e^−iωt/2|ψz(t)i mit z(t) = z0e^−iωt in der Form

|ψ_z(t)i=X

n

c_n(z₀)|ψ_n(t)i mit |ψ_n(t)i= e^−iEⁿ^t/^~|ψ_ni

geschrieben werden kann, und daß er Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ist.

d) Zeigen Sie, daß gilt

a|ψ_z(t)i=z(t)|ψ_z(t)i und hψ_z(t)|a^†=z(t)^∗hψ_z(t)|.

e) Berechnen Sie die (zeitabhängigen) Erwartungswerte hxiz = hψ_z(t)|x|ψ_z(t)i, hpiz,hx²iz,hp²iz, die Unschärfen (∆x)z,(∆p)z und das Produkt (∆x)z(∆p)z für den durch |ψz(t)i beschriebenen Zustand.

Aufgabe 2: Zweidimensionaler Oszillator im Magnetfeld

Man betrachte die Bewegung eines geladenen Teilchens (Ladung q=−e, Masse M, ohne Spin) in einem zweidimensionalen harmonischen Potential und einem zur (x, y)-Ebene senkrechten Magnetfeld.

a) Zeigen Sie zun¨achst, daß man ein homogenes Magnetfeld B~ durch das Vektorpotential A~ = 1

2B~ ×~r darstellen kann.

Bitte wenden!

(2)

b) Spezialisieren Sie jetzt auf den Fall der Bewegung in einer Ebene senkrecht zum MagnetfeldB~ =B~e_z, wobei~ez der Einheitsvektor in z-Richtung ist. In ebenen Polarkoordinaten (ρ, φ) hat man

~

p² =−~² 1 ρ

∂

∂ρρ ∂

∂ρ +L²_z

ρ² mit Lz = ~ i

∂

∂φ . Zeigen Sie, daß man den Hamilton-Operator

H =

³

~

p+e ~A´2

2M + M

2 ω₀²¡

x²+y²¢ in der Form

H = ~p²

2M +ωcLz

2 + MΩ²ρ² 2 schreiben kann mit

Ω² =ω₀²+ω_c²

4 und ωc = eB

M . c) Begr¨unden Sie, daß man die Wellenfunktion in der Form

ψ(ρ, φ) = R(ρ) e^imφ

mit ganzzahligem m schreiben kann. Geben Sie die Differentialgleichung f¨urR(ρ) an.

d) Den Radialanteil der Wellenfunktion kann man in der Form R(ρ) =R₀(ρ)R_∞(ρ)P(ρ) schreiben mit

R₀(ρ) =ρ^β und R_∞(ρ) = e⁻¹²^α²^ρ²

und einer Potenzreihe P(ρ). Zeigen Sie, daß R0(ρ) und R∞(ρ) L¨osungen f¨ur asymptotisch kleine bzw.

große Abst¨ande ρ sind, und bestimmen Sie die Parameterα and β.

e) Die Potenzreihe P(ρ) erf¨ullt die Differentialgleichung

− ~² 2M

· P⁰⁰+

µ1 + 2|m|

ρ −2MΩ

~ ρ

¶

P⁰−2MΩ

~ (1 +|m|)P

¸

= µ

E− m~ω_c 2

¶ P .

Zeigen Sie, daß man mit dem Ansatz

P(ρ) =

∞

X

ν=0

c_νρ^ν

(c0 6= 0, ν gerade) aus dieser Differentialgleichung die Rekursionsrelation c_ν+2

c_ν = ~Ω(ν+ 1 +|m|) + ^m₂~ωc −E

~2

2M(ν+ 2)(ν+ 2 + 2|m|) f¨ur die Koeffizienten der Potenzreihe erh¨alt.

f )Zeigen Sie, daß das Verhalten der PotenzreiheP(z) für asymptotisch große Abständeρim Allgemeinen zu nicht-normierbaren Wellenfunktionen führt. Falls die Koeffizienten cν für alle ν > 2n verschwinden, wird die Potenzreihe zu einem Polynom (mit maximaler Potenz ρ²ⁿ). Formulieren Sie die Abbruchbedin- gung, und zeigen Sie, daß man die Eigenenergien

Enm= m~ω_c

2 +~Ω(1 + 2n+|m|) erh¨alt.

g) Welche Energien erhält man für verschwindendes Magnetfeld? Wie hoch ist der Grad der Entartung der Zustände für B = 0? Welche Energien erhält man für sehr kleines und sehr großes Magnetfeld?

Skizzieren Sie die Magnetfeld-Abh¨angigkeit der Energien Enm, und tragen Sie die Wertepaare (n, m) an die Kurven der Skizze an.