1+6+2+3+1 Punkte Aufgabe 18 Bestimmen Sie die Ableitung ψ′(0) der Aufl¨osungsfunktion ψ, ψ(0

Mathematisches Institut Lehrstuhl Optimierung

Prof. Dr. rer.nat. habil. S. Pickenhain Sommersemester 2011

Analysis II f¨ur die Studieng¨ange

Mathematik und Wirtschaftsmathematik, Physik Aufgabenblatt 6

Abgabetermin: 19.05.2011

Aufgabe 17 Gegeben sei die Funktion f mit:

f(x) = arctan( 2x 1−x²) a) F¨ur welche x∈IR ist f definiert ?

b) Untersuchen Sie f auf Symmetrie, Nullstellen, lokale Extrema und Wen- depunkte.

c) Bestimmen Sie die rechts- und linksseitigen Grenzwerte von f und f^′ an den Stellen 1 und −1. Wie verh¨alt sich f f¨ur|x| → ∞ ?

d) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f.

1+6+2+3+1 Punkte Aufgabe 18 Bestimmen Sie die Ableitung ψ^′(0) der Aufl¨osungsfunktion ψ, ψ(0) = 0, von ϕ(x, y) = y²+y− ^sin(x_x ²⁾ = 0 nachy.

4 Punkte Aufgabe 19 a) Geben Sie das Newtonverfahren zur Berechnung von√^p

a, p≥ 2, a > 0 an. Zeigen Sie, daß das Newtonverfahren bei geeigneter Wahl des Startpunktes konvergiert.

b) Bestimmen Sie mit dem Newtonverfahren die L¨osungen folgender Glei- chungen bis auf einen Fehler ≤10⁻³:

x³ + 2x−5 = 0, 2 cosx−x² = 0.

( ¨Uberpr¨ufen Sie zuvor die Anwendbarkeit des Newtonverfahrens und w¨ahlen

Sie den Startpunkt.) 8 Punkte