Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2011 Matthias Makowski, Marcello Sani
Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebra 2¨
Blatt 6 Aufgabe 6.1. (4 Punkte)
Sein∈Nund seiV einn-dimensionaler euklidischer Vektorraum.SO(n) bezeichne die Gruppe aller ortho- gonalen AutomorphismenαvonV mit detα= 1 gilt. Zeigen Sie:
a) Istψein orthogonaler Automorphismus mit detψ=−1 undσeine Spiegelung, so gibt esϕ1, ϕ2∈SO(n), so dassψ=ϕ1◦σ =σ◦ϕ2 gilt.
b) Sei f¨ur diese Teilaufgaben= 2. Istϕeine Drehung, d.h. ein Element vonSO(2), undψeine orthogonale Abbildung vonV mit detψ=−1, so giltϕ◦ψ=ψ◦ϕ−1.
Hinweis: Verwenden Sie, dass die Drehungen vonV eine abelsche Gruppe bilden.
c) Einen orthogonalen Automorphismus desR3nennen wir eine Drehung, falls er bez¨uglich einer geeigneten Orthonormalbasis durch
1 0 0
0 cosα −sinα 0 sinα cosα
, mit 0≤α <2π,
dargestellt ist. Zeigen Sie, dass es zwei Drehungenϕ1, ϕ2 vonR3mit ϕ1◦ϕ26=ϕ2◦ϕ1 gibt.
Aufgabe 6.2. (4 Punkte) Seienn≥2 undA= aij
i,j=1,...,n ∈Rn×n eine Matrix mitaij =β, fallsi6=j, undaii=αf¨urα, β∈R. a) Bestimmen Sie auf m¨oglichst einfache Weise alle Eigenwerte vonAund die Dimension der zugeh¨origen
Eigenr¨aume.
b) Berechnen Sie das Minimalpolynom vonA.
Aufgabe 6.3. (4 Punkte)
SeiKein K¨orper, in dem das charakteristische Polynom eines Endomorphismusses in Linearfaktoren zerf¨allt.
Benutzen Sie dies in einem alternativen Beweis des Satzes von Caley-Hamilton.
Hinweis: InKist der Endomorphismus trigonalisierbar.
Aufgabe 6.4. (4 Punkte)
SeiRein kommutativer Ring mit Eins. Beweisen Sie:
a) p⊂Rist genau dann prim, wennR/pnullteilerfrei ist, d.h. falls ausa·b= 0 folgt, dassa= 0 oderb= 0 gilt.
b) m⊂R ist genau dann maximal, wennR/mein K¨orper ist.
c) Jedes maximale Ideal ist prim.
Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen11.html#LAII Abgabe:Bis Dienstag, 31.5.2011, 10.00 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.
