Aufgabe II.2 Seien DD = {ϕ∈C∞([0,1])|ϕ(0) =ϕ(1

Moritz Kaßmann

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Sommersemester 2012 Universität Bielefeld

Aufgaben und Projekte zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen III

Dienstag, 11.12.12

Auf diesem Projektzettel werden wesentlich selbstadjungierte Fortsetzungen des Laplace- Operators untersucht.

Aufgabe II.1

Beweisen Sie folgendes Lemma:

Lemma:Seien H ein separabler Hilbertraum undA:D(A)⊂H →H symmetrisch und positiv. Es gebe eine Orthonormalbasis (e_j) in H mit e_j ∈ D(A) und Ae_j = λ_je_j f¨ur geeignete λj ≥ 0 und alle j ∈ N. Dann ist (A,D(A)) wesentlich selbstadjungiert und

A,¯ D A¯

ist unit¨ar ¨aquivalent ¹ zum Multiplikationsoperator(M,D) auf l²(N) mit D=

n

(xj)^∞_j=1 ∈l²(N)

∞

X

j=1

λ²_j|x_j|²<∞o , M((xj)) = (λjxj)^∞_j=1.

Das Spektrum gen¨ugtσ = (A) ={λ_j}.

Aufgabe II.2 Seien

D_D = {ϕ∈C^∞([0,1])|ϕ(0) =ϕ(1) = 0}, D_N =

ϕ∈C^∞([0,1])

ϕ⁰(0) =ϕ⁰(1) = 0 , D_# =

ϕ∈C^∞([0,1])

ϕ(0) =ϕ(1), ϕ⁰(0) =ϕ⁰(1), ϕ⁰⁰(0) =ϕ⁰⁰(1), . . . . Beweisen Sie folgenden Satz:

Satz:Die Operatoren(−∆,D_D),(−∆,D_N),(−∆,D_#) sind wesentlich selbstadjungierte Fortsetzungen von(−∆, C_c^∞(0,1)) mit

σ((−∆,D_D)) =

π²,4π², . . . , k²π², . . . , σ((−∆,D_N)) =

0, π²,4π², . . . , k²π², . . . , σ((−∆,D_#)) =

0,4π²,16π², . . . ,4k²π², . . . .

1d.h.A=U M U⁻¹ f¨urU mitU^∗=U⁻¹