kennen- gelernt. Der Auslenkwinkel ϕ des Pendels schwingt harmonisch um einen Gleichgewichtswert ϕ = 0.

Der lineare harmonische Oszillator

Als Beispiel f¨ ur ein schwingungsf¨ ahiges System haben wir bereits das mathematische Pendel

¹

kennen- gelernt. Der Auslenkwinkel ϕ des Pendels schwingt harmonisch um einen Gleichgewichtswert ϕ = 0.

Schwingungen ¨ ahnlicher Art treten in vielen Bereichen der Physik auf und sind von grundlegender Be- deutung f¨ ur das Verhalten der Materie. Zum Beispiel f¨ uhren Atome und Molek¨ ule im Festk¨ orper um eine Gleichgewichtslage Schwingungen aus, die in erster N¨ aherung als harmonisch angesehen werden k¨ onnen.

Wir werden deshalb jetzt die Dynamik solcher harmonischer Oszillatoren genau untersuchen und als Modellsystem eine lineare Feder w¨ ahlen.

1. Der unged¨ ampfte Oszillator

Ein Massenpunkt m wird an einer masselos gedachten Feder befestigt. Wir interessieren uns f¨ ur die Bewegung l¨ angs der Federachse. In der Vertikalen sei stets G = mg = N. Wir legen also die x-Achse in Richtung der Federachse mit dem Freiheitsgrad f = 1 und w¨ ahlen x = 0 als die Gleichgewichtslage.

Wir wollen alle Reibungskr¨ afte vernachl¨ assigen und annehmen, in x-Richtung werde nur von der Feder die Federkraft F = F(x) ausge¨ ubt. Diese Bewegung kann z.B. mit einem Luftkissenfahrzeug realisiert werden.

∼∼∼∼∼ q q r ∼∼∼∼∼ q q - x

k/2 k/2

6

? N ~ G ~ F ~

Die Bewegungsgleichung ist m d

²

x

dt

²

= F(x) .

Wie h¨ angt die Federkraft F (x) reversibel von der Auslenkung ab? Da F (x → 0) = 0 gelten soll, entwickeln wir F (x) f¨ ur kleine x in eine Taylor-Reihe um den Nullpunkt:

F (x) = F(0)

| {z }

=0

+ dF

dx

x=0

x + 1 2

d

²

F dx

²

x=0

x

²

+ . . . = F(0)

| {z }

=0

+

∞

X

n=1

d

ⁿ

F dx

ⁿ

x=0

x

ⁿ

n! .

Wir nennen die Feder linear, wenn der quadratische und alle h¨ oheren Terme gen¨ ugend klein sind, so dass F(x) =

dF dx

x=0

x =: −kx mit (k > 0)

geschrieben werden kann. Zur Abk¨ urzung haben wir die Federkonstante k = k/2 + k/2 eingef¨ uhrt (siehe Abb.). Wenn die Gleichgewichtslage stabil sein soll, muss bei einer Auslenkung die Kraft F in Richtung Gleichgewichtslage zeigen, also

^dF_dx

x=0

< 0 gelten (daher das Minuszeichen). Offenbar l¨ asst sich dieser lineare Ansatz F (x) = −kx bei allen Kr¨ aften anwenden, die von einem Abstand abh¨ angen – wenn man sich auf kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage beschr¨ ankt. F¨ ur eine mechanische Feder ist die Linearit¨ at mit x in guter N¨ aherung erf¨ ullt. Die Bewegungsgleichung f¨ ur m lautet dann

m d

²

x

dt

²

= −kx oder d

²

x dt

²

= − k

m x (1)

und ist somit formal identisch mit der Gleichung d

²

ϕ

dt

²

= − g

` ϕ

f¨ ur das mathematische Pendel bei kleinen Auslenkungen ϕ. Gleichung (1) kann also f¨ ur alle x durch den harmonischen Ansatz

x(t) = x

_m

cos(ω

_◦

t + φ) mit der Kreisfrequenz ω

_◦

= p

k/m = 2πν

_◦

= 2π

T gel¨ ost werden.

²

(2)

1Siehe Erg¨anzungen

”Pendel“ (in Woche 3) und vgl. auch Kap. 16-6 im Halliday.

2Halliday bezeichnetω◦ jeweils einfach mitω, was hier abge¨andert wurde, um im Folgenden eine klare Unterscheidung zwischen der noch unbestimmten Variableωim Ansatz und der gefundenen Eigenfrequenzω◦=p

k/mzu erm¨oglichen.

ν

_◦

ist die Frequenz und T die Schwingungsdauer der harmonischen Schwingung. Die Amplitude x

m

und die Phasenkonstante φ sind wie beim Pendel durch die Anfangsbedingungen festgelegt.

t x

m

x T

- q t

o

F¨ ur x(t = 0) =: x

_◦

und

^dx_dt

t=0

=: v

_◦

erh¨ alt man x

m

=

s x

²_◦

+

v

_◦

ω

_◦

2

und tan φ = − v

_◦

x

_◦

ω

_◦

. (3)

Im Hinblick auf eine mathematisch vereinfachende Behandlung wollen wir uns ¨ uberzeugen, dass Gl.(1) auch mit einer Exponentialfunktion

³

z = x + iy = C e

^iωt

= C(cos ωt + i sin ωt) (4) gel¨ ost werden kann, in der z eine komplexe Gr¨ osse ist. Selbstverst¨ andlich ist die gemessene Auslenkung des Oszillators eine reelle Gr¨ osse, n¨ amlich der Realteil von z: <(z) = <(Ce

^iωt

) = x. Der Imagin¨ arteil

=(z) = y ist bloss eine mathematische Hilfsgr¨ osse, die hier ohne physikalische Bedeutung ist und nur der einfacheren komplexen Schreibweise von z dient. Wir setzen den Ansatz (4) in Gl.(1) ein und erhalten:

−ω

²

Ce

^iωt

= − k

m Ce

^iωt

⇐⇒ ω = ± p

k/m = ± ω

◦

. Es gibt also zwei L¨ osungen:

z

1

= C

1

e

^iω◦t

und z

2

= C

2

e

^−iω◦t

.

Da die Gleichung (1) linear ist, besteht ihre allgemeine L¨ osung in der Linearkombination

z = z

₁

+ z

₂

= C

₁

e

^iω◦t

+ C

₂

e

^−iω◦t

(5) mit den beiden Integrationskonstanten C

1

und C

2

. Diese werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt, f¨ ur welche wir wieder x(t = 0) =: x

_◦

und

^dx_dt

t=0

=: v

_◦

w¨ ahlen. Die Gr¨ ossen C

1

und C

2

sind jetzt allerdings komplex! Einsetzen in Gl.(5) ergibt C

1

+ C

2

= x

_◦

und iω

_◦

C

1

− iω

_◦

C

2

= v

_◦

. Daraus berechnet man

⁴

C

1

= 1 2

x

_◦

− i v

◦

ω

_◦

und C

2

= 1 2

x

_◦

+ i v

◦

ω

_◦

= C

₁^∗

und als komplexe L¨ osung von Gl.(1) z = 1

2

x

_◦

− i v

_◦

ω

◦

e

^iω◦t

+

x

_◦

+ i v

_◦

ω

◦

e

^−iω◦t

=

= 1 2

(

x

_◦

e

^iω◦t

+ e

^−iω◦t

| {z }

2 cos(ω◦t)

−i v

_◦

ω

◦

e

^iω◦t

− e

^−iω◦t

| {z }

2isin(ω◦t)

)

= x

_◦

cos(ω

_◦

t) + v

_◦

ω

◦

sin(ω

_◦

t). (6)

Dieser jetzt reelle Ausdruck stimmt mit L¨ osungsansatz (2) ¨ uberein, wenn man ber¨ ucksichtigt, dass gilt x

_◦

= x

m

cos(φ) und v

_◦

ω

_◦

= x

m

sin(φ) ,

(vergleiche Gl.(2) sowie deren einmalige Ableitung). Dann braucht man bloss noch die Formel cos α cos β - sin α sin β = cos(α + β) anzuwenden, um von Gleichung (6) zu unserem ersten, von Beginn weg reellen Ansatz (2) zur¨ uckzufinden. – Beide L¨ osungswege f¨ uhren, wie es auch sein muss, zum gleichen Ergebnis.

3Der letzte Schritt dieser Darstellung verwendet die Eulersche Formel.

4C₁^∗=a−ibbezeichnet das Konjugiert-Komplexe vonC1=a+ib.

2. Der ged¨ ampfte Oszillator

Wir passen die Bewegungsgleichung unseres Oszillators etwas mehr der Wirklichkeit an, indem wir noch ei- ne geschwindigkeitsabh¨ angige, viskose Reibungskraft

⁵

−bdx/dt ber¨ ucksichtigen. Die Bewegungsgleichung heisst dann

∼∼∼∼∼ q q r ∼∼∼∼∼ q q - x

k/2 k/2

6

? N ~ G ~ F ~

R ~

m d

²

x

dt

²

= −kx − b dx

dt . (7)

Diese Gleichung kann nicht einfach integriert werden. Wir sehen je- doch: Die L¨ osung muss die Eigenschaft haben, dass ihre zweite Ab- leitung sowohl der ersten Ableitung wie auch der Funktion selbst proportional ist.

Deshalb setzen wir eine komplexe Exponentialfunktion als L¨ osung an:

z = C e

^λt

, (8)

wobei λ jetzt einen Real- und einen Imagin¨ arteil hat. Einsetzen von Gl.(8) in Gl.(7), die zu allen Zeiten erf¨ ullt sein muss, ergibt

mCλ

²

e

^λt

= −kC e

^λt

− bCλ e

^λt

und mit ω

_◦²

= k

m folgt λ

²

+ b

m λ + ω

_◦²

= 0 . (9) Die charakteristische Gleichung (9) hat zwei L¨ osungen:

λ

1,2

= − b 2m ±

r b

²

4m

²

− ω

²_◦

. (10)

Mit den Abk¨ urzungen b

2m =: δ und r

ω

²_◦

− b

²

4m

²

=: ω wird λ

1,2

= −δ ± iω. (11)

Die Bewegungsgleichung hat die beiden L¨ osungen z

1

= C

1

e

^λ1t

und z

2

= C

2

e

^λ2t

, die beide f¨ ur sich genommen Gleichung (7) erf¨ ullen. Da Gleichung (7) linear ist, ist ihre allgemeine L¨ osung wieder eine Linearkombination von z

1

und z

2

:

z = z

₁

+ z

₂

= C

₁

e

^λ1t

+ C

₂

e

^λ2t

. (12) Die Integrationskonstanten C

₁

und C

₂

werden mit Gl.(12) (wie im vorigen Abschnitt) durch die Anfangs- bedingungen festgelegt:

x(t = 0) =: x

_◦

und dx

dt

t=0

=: v

_◦

⇒ x

_◦

= C

1

+ C

2

und v

_◦

= C

1

λ

1

+ C

2

λ

2

⇒ C

1

= v

_◦

− x

_◦

λ

2

λ

₁

− λ

₂

, C

2

= − v

_◦

− x

_◦

λ

1

λ

₁

− λ

₂

. Damit wird die L¨ osungsgleichung (12) zu

z = v

_◦

− x

_◦

λ

₂

λ

1

− λ

2

e

^(−δ+iω)t

− v

_◦

− x

_◦

λ

₁

λ

1

− λ

2

e

^{(−δ−iω)t}

oder mit Gl.(11): z = e

^−δt

v

_◦

− x

_◦

(−δ − iω)

2iω e

^iωt

− v

_◦

− x

_◦

(−δ + iω) 2iω e

^−iωt

= 1 2 e

^−δt

x

_◦

− i v

_◦

+ x

_◦

δ ω

e

^iωt

+

x

_◦

+ i v

_◦

+ x

_◦

δ ω

e

^−iωt

bzw.

z(t) = 1 2 e

^−δt

B e

^iωt

+ B

^∗

e

^−iωt

mit B = x

_◦

− i v

_◦

+ x

_◦

δ ω , ω =

r

ω

²_◦

− b

²

4m

²

und δ = b

2m . (13) Die Faktoren B und B

^∗

sind konjugiert komplex zueinander (2 Integrationskonstanten, wie ben¨ otigt).

5wie sie schon in den Erg¨anzungen

”Einfache Differentialgleichungen“, Abschnitt 4, vorkam

Bei der physikalischen Interpretation dieses Ergebnisses sind je nach Gr¨ osse der Reibungskonstanten b drei F¨ alle zu unterscheiden:

⁶

1. Fall:

_4m^b22

< ω

_◦²

, d.h. ω ist reell, schwache D¨ ampfung, 2. Fall:

_4m^b22

> ω

_◦²

, d.h. ω ist imagin¨ ar, starke D¨ ampfung, 3. Fall:

_4m^b22

= ω

_◦²

, d.h. ω = 0, kritische D¨ ampfung.

1. Fall: schwache D¨ ampfung

Wir schreiben die komplexen Amplituden B und B

^∗

in Gl.(13) in der Form B = x

_m

e

^iφ

und B

^∗

= x

_m

e

^−iφ

,

-

= 6

<

x

m

φ )

p mit x

²_m

= x

²_◦

+

v

_◦

+ x

_◦

δ ω

²

und cos(φ) = x

_◦

x

m

. (14)

Dann erhalten wir als L¨ osung z(t) = x

m

2 e

^−δt

h

e

^i(ωt+φ)

+ e

^−i(ωt+φ)

i

= x

m

e

^−δt

cos(ωt + φ)

⁷

oder z(t) = x

m

e

^−bt/2m

cos t · r

ω

²_◦

− b

²

4m

²

+ φ

!

= x(t) . (15) F¨ ur b → 0 ¨ ahnelt diese Gleichung der Schwingungsgleichung des unged¨ ampften Oszillators (vgl. Gl.(2)).

t x(t)

x e

m

< bt

-x e

m

< bt

x(t=0)=x

o

v(t=0)=0 Mit b > 0 nimmt die Amplitude mit der Zeit exponentiell ab.

Obwohl nur im Falle einer reinen sin- oder cos-Funktion von ei- ner definierten Frequenz gesprochen werden kann, nennt man ω doch die Kreisfrequenz dieser ged¨ ampften Schwingung. Dieses ω ist kleiner als die Frequenz ω

_◦

des unged¨ ampften Oszillators.

Die Nullstellen von x(t) haben gleiche Abst¨ ande T = 2π/ω, je- doch liegen die Extrema – anders als bei der unged¨ ampften Schwingung – nicht mehr genau in der Mitte zwischen diesen Nullstellen.

Man ¨ uberzeuge sich, dass man aus Gl.(15) mit den Ausdr¨ ucken aus Gl.(14) f¨ ur die Integrationskonstanten x

m

und φ wieder die Anfangswertex(t = 0) = x

◦

und v(t = 0) = v

◦

erh¨ alt.

2. Fall: starke D¨ ampfung

ω ist jetzt imagin¨ ar. Wir setzen deshalb ω =: iω

⁰

mit reellem ω

⁰

:=

r b

²

4m

²

− ω

²_◦

und erhalten aus Gl.(13) die L¨ osung x(t) = z(t) = 1

2 e

^−δt

n

B e

^−ω0t

+ B

^∗

e

^ω0t

o

mit B = x

_◦

− v

_◦

+ x

_◦

δ

ω

⁰

, B

^∗

= x

_◦

+ v

_◦

+ x

_◦

δ

ω

⁰

. (16) Wie die Exponentialfunktionen sind auch die Amplituden B und B

^∗

reell geworden.

⁸

Die Bewegung ist nicht mehr periodisch.

6Halliday setzt direkt bei dieser Unterscheidung an. Unser Vorgehen (mit dem allgemeinen Ansatz zu Beginn) zeigt einen zweiten Weg auf; um den Vgl. zu erm¨oglichen, stimmen die Bezeichnungen wo immer m¨oglich mit Halliday ¨uberein.

7xmcos(ωt+φ) entspricht dabei der L¨osung f¨ur das ˜x, welches im Ansatz von Halliday (Kap.16-8, Mathebox 16-2) auftritt.

8Entsprechungen im Halliday: ¯x1=B^∗/2 und ¯x2=B/2.

x(t)

t

~ e ^h

¹

^t

~ e ^h

²

^t

h

2

< h

1

, e ^h

²

^t stirbt schneller aus

x(t=0)=0 v(t=0)=v

o

Sowohl e

^−(ω0+δ)t

= e

^λ2t

wie auch e

^(ω0−δ)t

= e

^λ1t

(vgl. die Abk¨ urzungen (11) f¨ ur λ

1

, λ

2

) nehmen mit der Zeit ab, da ja δ > ω

⁰

ist.

F¨ ur den Spezialfall x(t = 0) = x

_◦

= 0 und v(t = 0) = v

_◦

erhalten wir B = −v

_◦

/ω

⁰

, B

^∗

= v

_◦

/ ω

⁰

und damit

x(t) = v

_◦

2ω

⁰

n

e

^(ω0−δ)t

− e

^−(ω0+δ)t

o

= v

_◦

2 ω

⁰

e

^λ1t

− e

^λ2t

. λ

1

und λ

2

sind hierbei negativ mit λ

2

< λ

1

, e

^λ2t

wird folglich schneller ged¨ ampft.

3. Fall: kritische D¨ ampfung

Die allgemeine L¨ osung (Gl.(13)) kann f¨ ur ω =

r

ω

²_◦

− b 4m

²

= 0

nur dann einen Sinn haben, wenn wir zun¨ achst in den Faktoren B und B

^∗

den Grenz¨ ubergang ω → 0 ausf¨ uhren (da ω im Nenner der beiden Faktoren steht). Wir fassen deswegen die ω enthaltenden Terme in Gl.(13) zweckm¨ assiger zusammen:

z = 1 2 e

^−δt

x

_◦

e

^iωt

+ e

^−iωt

− i (v

_◦

+ x

_◦

δ) e

^iωt

− e

^−iωt

ω

.

Mit der Definition des Differentialquotienten gilt dann

ω→0

lim

e

^iωt

− e

^−iωt

ω = lim

ω→0

e

^iωt

− e

⁰

ω + e

⁰

− e

^−iωt

ω

= lim

ω→0

e

^iωt

− e

⁰

ω + e

^−iωt

− e

⁰

−ω

= 2 d e

^iωt

dω

ω=0

= 2 it e

^iωt

ω=0

= 2 i t . Damit ist

ω→0

lim z(t) = 1

2 e

^−δt

{2x

_◦

− i (v

_◦

+ x

_◦

δ) 2 i t} rein reell und somit x(t) = e

^−δt

{x

_◦

+ (v

_◦

+ x

_◦

δ) t} . Auch hier ergeben sich zwei einander ¨ uberlagerte L¨ osungen, wie es f¨ ur eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung der Fall sein muss.

• oo • // •

Bemerkung : Im aperiodischen Grenzfall ist in Gl.(10) der Term unter der Wurzel null (ω

²_◦

=

_4m^b2₂

) und es geht formal eine Integrationskonstante verloren. Mit der Methode der Variation der Konstanten, C = C(t) =:

⁹

x(t), macht man den Ansatz ¯ x = ¯ x(t) e

^λt

und erh¨ alt damit f¨ ur die Differentialgleichung (7)

mit λ = −b/2m = −δ und ω

_◦²

= λ

²

:

¨ x + b

m x ˙ + ω

_◦²

x = 0 = ¨ x − 2 λ x ˙ + λ

²

x mit x ˙ = ˙¯ x e

^λt

+ ¯ xλ e

^λt

und x ¨ = ¨ x ¯ e

^λt

+ 2 ˙¯ xλ e

^λt

+ ¯ xλ

²

e

^λt

. Einsetzen in die DGL ergibt

¨ ¯

x e

^λt

+ 2 ˙¯ xλ e

^λt

+ ¯ xλ

²

e

^λt

− 2λ x ˙¯ e

^λt

− 2λ

²

x ¯ e

^λt

+ λ

²

¯ x e

^λt

= 0 = ¨ x ¯ e

^λt

und es folgt f¨ ur die Funktion ¯ x(t) f¨ ur alle Zeiten t: ¨ x ¯ = 0, d.h. ˙¯ x = konst. =: ¯ x

₂

und ¯ x = ¯ x

₂

t + ¯ x

₁

. Damit ist die vollst¨ andige L¨ osung

x(t) = (¯ x

1

+ ¯ x

2

t) e

^λt

= (¯ x

1

+ ¯ x

2

t) e

^{−2mb t}

. (17)

9Diese Umbenennung erfolgt bloss, um die Analogie zur Besprechung der kritischen D¨ampfung im Halliday aufzuzeigen.

Gleichung (17) stimmt mit dem Resultat der obigen, etwas komplizierteren Rechnung ¨ uberein, wenn die Anfangsbedingungen die beiden Integrationskonstanten festlegen;

z.B. sind mit x(t = 0) =: x

_◦

und ˙ x(t = 0) =: v

_◦

die Integrationskonstanten ¯ x

1

= x

_◦

und ¯ x

2

= v

_◦

− x

_◦

λ und damit x(t) = [x

◦

+ (v

◦

− x

◦

λ)t] e

^λt

= [x

◦

+ (v

◦

+ x

◦

δ)t] e

^−δt

.

Die Methode der Variation der Konstanten f¨ uhrt demnach zu einer neuen Differentialgleichung, die, wenn man Gl¨ uck hat, eine bekannte L¨ osung besitzt oder gel¨ ost werden kann.

• oo • // •

Wie im Falle der starken D¨ ampfung ist auch die Bewegung bei kritischer D¨ ampfung nicht periodisch;

sie stellt den ¨ Ubergang von der periodischen zur nicht-periodischen Bewegung dar. Deshalb nennt man den Fall der kritischen D¨ ampfung (ω

_◦²

= b

²

/4m

²

) auch den aperiodischen Grenzfall. Dieser Fall spielt eine grosse Rolle beim Bau von Messinstrumenten, deren wesentliche Teile in vielen F¨ allen (z.B. beim Galvanometer) ged¨ ampfte, schwingungsf¨ ahige Systeme sind, deren Auslenkung aus der Ruhelage zur gew¨ unschten Anzeige f¨ uhrt. Wie schnell kehrt der Oszillator in die Ruhelage zur¨ uck?

0 2 4

0.0 0.5 1.0 x(t)

t x

o

e ^<bt

(x

o

b t ) e ^<bt x(t=0)=x

o

v(t=0)=0

Mit den Anfangsbedingungen x

_◦

6= 0 und v

_◦

= 0 erhalten wir x(t) = e

^−δt

(x

_◦

+ x

_◦

δ t) = x

_◦

e

^−δt

(1 + δt).

Hier dominiert der zweite Term x

_◦

e

^−δt

δt f¨ ur Zeiten t 1/δ.

Der kritisch ged¨ ampfte Oszillator kehrt schneller in die Ruhe- lage x = 0 zur¨ uck als der stark ged¨ ampfte und schwingt im Gegensatz zum schwach ged¨ ampften auch nicht ¨ uber die Ru- helage hinaus. Daher seine Eignung f¨ ur Messinstrumente.

3. Erzwungene Schwingungen und Resonanz

Bei den bisherigen Betrachtungen wurden die Anfangsbedingungen x

_◦

und v

_◦

zur Zeit t = 0 gew¨ ahlt;

darauf wurde das System sich selbst ¨ uberlassen. In vielen F¨ allen werden schwingungsf¨ ahige Systeme jedoch st¨ andig von aussen beeinflusst. Welche Bewegung resultiert dann? Wir nehmen an, dass die ¨ aussere Kraft von der Form F = F

_m

cos(ω

_e

t) ist,

∼∼∼∼∼ r

- x k

- 6

? N ~ G ~

F ~ = −kx F ~

m

cos(ω

e

t)

R ~

wobei ω

_e

eine beliebige Kreisfrequenz ist. Eine beliebige, aber peri- odische Kraft kann nach dem Fourier-Theorem in sin- und cos-Terme zerlegt werden, so dass wir mit dem Ansatz F = F

m

cos(ω

e

t) die Grundlage f¨ ur den allgemeinen Fall erarbeiten. Die Bewegungsglei- chung unseres Oszillators mit R = −b · v lautet jetzt

m d

²

x

dt

²

= −kx − b dx

dt + F

_m

cos(ω

_e

t). (18)

Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung, deren L¨ osung von der Form x

_inh.

= x

_hom.

+ x

_part.

ist.

¹⁰

Die homogene L¨ osung erhalten wir, wenn wir in Gl.(18) die ¨ aussere Kraft F

_m

cos(ω

_e

t) streichen. Es resultiert die Differentialgleichung des freien Oszillators, dessen Bewegung f¨ ur grosse Zeiten ausstirbt.

¹¹

Somit bleibt die partikul¨ are L¨ osung x

_part.

, die man beobachtet, wenn man nach Einschalten der

” St¨ orung“

gen¨ ugend lange wartet.

¹²

Wir interessieren uns nun f¨ ur diese station¨ are L¨ osung. Um x

part.

zu erhalten, schreiben wir analog zu den Betrachtungen in Abschnitt 1 die Bewegungsgleichung mit der komplexen Variablen z:

m d

²

z

dt

²

= −kz − b dz

dt + F

m

e

^iωet

(19)

und verstehen unter <(z) die gesuchte reelle L¨ osung x

part.

. Offenbar muss z(t) wie e

^iωet

variieren; wir versuchen also den

L¨ osungsansatz z(t) = C e

^iωet

. (20)

10Vgl. Erg¨anzungen

”Einfache Differentialgleichungen“, Abschnitt 1.Achtung:Halliday nennt unserxpart.ebenfallsx_inh.!

11Vgl. ebenda, Abschnitt 2, Fall III).

12Ein ¨ahnlicher Fall war das Beispiel zu den Erg¨anzungen

”Einfache DGL“ (Abschnitt 4). Dort blieb nach einiger Zeit (sobald sich das GGW zwischen Reibungs- und Gewichtskraft eingestellt hatte) auch nur die partikul¨are L¨osung ¨ubrig.

Einsetzen in Gl.(19) ergibt

−ω

²_e

C m e

^iωet

= −k Ce

^iωet

− i b ω

_e

C e

^iωet

+ F

_m

e

^iωet

und f¨ ur C die Beziehung

C = F

m

m ω

_◦²

− ω

_e²

+ i

^{b ω}_m^e

, (21) wenn wir wieder ω

_◦²

= k/m beachten. Die komplexe L¨ osung zu Ansatz (20) lautet also

z(t) = F

m

e

^iωet

m ω

_◦²

− ω

_e²

+ i

^{b ω}_m^e

= F

m

m · ω

_◦²

− ω

_e²

− i

^{b ω}_m^e

h (ω

_◦²

− ω

_e²

)

²

+

^{b ω}_m^e

²

i (cos(ω

e

t) + i sin(ω

e

t)) . Daraus folgt als reelle Koordinate

x(t) = <[z(t)] = F

_m

m · ω

_◦²

− ω

²_e

cos(ω

e

t) +

^{b ω}_m^e

sin(ω

e

t) h

(ω

_◦²

− ω

_e²

)

²

+

^{b ω}_m^e

²

i . Dies kann auch in der Form

x(t) = X

_m

(ω

_e

) cos(ω

_e

t + ϕ) = X

_m

(ω

_e

) (cos(ω

_e

t) cos(ϕ) − sin(ω

_e

t) sin(ϕ))

geschrieben werden. Aus dem Vergleich beider Ausdr¨ ucke erh¨ alt man dann X

m

(ω

e

) und ϕ und somit das folgende Ergebnis f¨ ur die station¨ are L¨ osung:

x(t) = X

m

cos(ω

e

t + ϕ) mit X

m

= F

m

q

m

²

(ω

_◦²

− ω

_e²

)

²

+ b

²

ω

²_e

, tan(ϕ) = − b ω

e

m (ω

_◦²

− ω

_e²

) = − 2δω

e

ω

²_◦

− ω

_e²

. (22)

Sowohl die Amplitude wie auch die Phasenkonstante der station¨ aren, erzwungenen Schwingung h¨ angen von b, ω

◦

und ω

e

ab. Wir werden zun¨ achst X

m

diskutieren.

F¨ ur gegebene Werte von b und ω

_◦

ist X

m

eine Funktion von ω

e

. Sie strebt gegen Null f¨ ur ω

e

→ ∞, erreicht einen endlichen Wert F

m

/(mω

²_◦

) bei ω

e

= 0 und hat ein Maximum bei der Frequenz ω

e

= ω

R

. Diese Erscheinung nennen wir Resonanz:

0 2 4

1 2 3

t

R

t

o

t

_e

b klein

b gro ` X

m ,m a x

X

m ,m a x 1 2

6 t

_e

X (t )

m e

F

m

t

o2

m

Unter dem Einfluss einer periodischen St¨ orung er- reicht die Amplitude eines schwingungsf¨ ahigen Sys- tems sehr hohe Werte.

Die Resonanzfrequenz ω

R

bestimmt man aus der Be- dingung

^dX_dω^m

e

= 0 zu:

ω

_R

= r

ω

²_◦

− b

²

2m

²

. (23)

Ein sehr schwach ged¨ ampftes System (b

²

/2m

²

ω

_◦²

) schwingt bei Resonanz praktisch mit der Frequenz ω

_◦

, also der Eigenfrequenz des unged¨ ampften Oszillators, es ist jedoch immer ω

_R

< ω

_◦

. Die Resonanzam- plitude X

_m,max

erh¨ alt man, indem Gl.(23) in Gl.(22) eingesetzt wird:

X

m,max

= F

m

b q

ω

_◦²

−

_4m^b2₂

' F

m

bω

_◦

. (24)

Die maximale Amplitude h¨ angt also von der Eigenfrequenz des ged¨ ampften Oszillators ab. Der Resonanz-

effekt ist umso schw¨ acher, je st¨ arker das System ged¨ ampft ist (grosse Werte von b).

Neben dem Maximalwert ist die Breite ∆ω

e

(siehe Figur) eine charakteristische Gr¨ osse der Resonanzkurve X

m

(ω

e

). ∆ω

e

wird als die volle Breite der Kurve bei halbem Maximalwert (Abk¨ urzung FWHM =

” full width at half maximum”) definiert. Setzen wir

ω

1

2

:= ω

R

+ ∆ω

e

2 , dann soll also X

m

(ω

1

2

) = X

m,max

2 sein.

Mit Gl.(24) und Gl.(22) erhalten wir als Bestimmungsgleichung f¨ ur ω

1 2

: F

m

2b q

ω

²_◦

−

_4m^b2₂

= F

m

r m

²

ω

_◦²

− ω

²1 2

²

+ b

²

ω

²1

2

oder 2b

m

²

ω

_◦²

− b

²

4m

²

=

ω

²_◦

− ω

²1 2

2

+ b ω

1

2

m

²

. (25)

Wir wollen ∆ω

_e

explizit f¨ ur schwache D¨ ampfung berechnen, so dass wir in Gl.(25) die N¨ aherungen b ω

1

2

m

²

' b ω

_◦

m

2

und ω

_◦²

− ω

²1

2

=

ω

◦

+ ω

¹

2

ω

◦

− ω

¹

2

' 2ω

◦

−∆ω

e

2

= −ω

◦

∆ω

e

einf¨ uhren d¨ urfen. Dann folgt aus Gl.(25)

ω

²_◦

(∆ω

e

)

²

= 3b

²

ω

_◦²

m

²

− b

⁴

m

⁴

.

Wenn wir den sehr kleinen Term b

⁴

/m

⁴

vernachl¨ assigen, erhalten wir die N¨ aherungsformel f¨ ur die Reso- nanzbreite

∆ω

_e

'

√ 3b m = 2 √

3 δ . (26)

Bei abnehmender D¨ ampfungskonstante b wird die Resonanzkurve schmaler und h¨ oher, es ist X

m,max

∆ω

e

' √

3 F

m

mω

_◦

' √ 3 F

m

√ mk = konst.

Bei kleinem b ist der Frequenzbereich, in welchem das System auf die ¨ aussere St¨ orung nennenswert anspricht, sehr schmal.

Der Betrag Phasenverschiebung ϕ zwischen der ¨ ausseren Kraft und der station¨ aren Schwingung

0 2

/

/ 2

| |

t

_e

b klein

b gro`

t

_k

(vgl. Gl.(22)) h¨ angt wie F

m

ebenfalls stark von b, ω

_◦

und ω

e

ab. Kraft und Erregung sind nahezu in Phase (|ϕ| klein) f¨ ur niedrige ω

e

. F¨ ur ω

e

→ ∞ sind beide um π phasenverscho- ben, die ¨ aussere Kraft wirkt bremsend. F¨ ur ω

e

= ω

_◦

, also in der N¨ ahe der Resonanzfrequenz, betr¨ agt die Verschie- bung π/2, die ¨ aussere Kraft schaukelt das System auf zu maximalen Schwingungsamplituden. Je kleiner b ist, umso abrupter erfolgt der ¨ Ubergang von kleiner zu grosser Pha- senverschiebung.

Vollst¨ andige L¨ osung der erzwungenen Schwingung

Wie zu Beginn des vorangehenden Abschnittes angegeben, ist die vollst¨ andige L¨ osung der inhomogenen

Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung x

inh.

= x

hom.

+ x

part.

. Die partikul¨ are, station¨ are

L¨ osung x

part.

in Gl.(22) ist unabh¨ angig von den Anfangsbedingungen, da die Eigenfrequenz ω

_◦

nach

langen Zeiten t ausgestorben ist. Die beiden Integrationskonstanten x

m

und φ der homogenen L¨ osung

[man nehme z.B. Gl.(15) f¨ ur den schwach ged¨ ampften Oszillator] m¨ ussen aus den Anfangsbedingungen

der vollst¨ andigen L¨ osung bestimmt werden.

Bei schwacher D¨ ampfung ist mit Gl.(15) die vollst¨ andige L¨ osung x(t) = x

m

e

^−δt

cos(t p

ω

_◦²

− δ

²

+ φ) + X

m

cos(ω

e

t + ϕ) (27) mit δ = b

2m , ω

_◦²

= k

m , X

m

= F

_m

p m

²

(ω

_◦²

− ω

²_e

)

²

+ b

²

ω

_e²

, tan(ϕ) = − 2δω

_e

(ω

²_◦

− ω

²_e

)

(x

m

und φ geh¨ oren dabei zur homogenen L¨ osung, X

m

und ϕ zur partikul¨ aren). Mit – beispielsweise – x(t = 0) = 0 und v(t = 0) = 0 ergibt sich schliesslich f¨ ur die beiden Integrationskonstanten x

m

und φ

0 = x

_m

cos(φ) + X

_m

cos(ϕ) , 0 = −x

_m

δ cos(φ) + x

_m

p

ω

_◦²

− δ

²

sin(φ) + X

_m

ω

_e

sin(ϕ) und damit x

m

= −X

m

cos(ϕ)

cos(φ) , tan(φ) = −δ p ω

_◦²

− δ

²

·

1 + 2ω

²_e

ω

_◦²

− ω

_e²

.

Drei Beispiele mit ω

e

ω

_◦

, ω

e

= ω

_◦

und ω

e

ω

_◦

sind in den abschliessenden Figuren dargestellt.

Bei starker sowie bei kritischer D¨ ampfung m¨ ussten die Integrationskonstanten analog aus den Anfangs- bedingungen festgelegt werden, wobei Gl.(15) durch eine passende homogene L¨ osung f¨ ur den jeweiligen Fall zu ersetzen w¨ are.

0 50 100

-2 -1 0 1

2 x(t) t = 0.15 te _k ,

t b= 0 . 1

0 100 200 300

-40 0

40 x(t) t^e=t_k b= 0 . 0 1 5

t

0 50 100

-0.2 0.0 0.2 x(t)

t t = 3 te _k , b= 0 . 1