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f¨urMathematik Prof.Dr.B.Hofmann22.April2016 H¨ohereMathematikII(MB) ¨ U19.bung:IntegralrechnungII 219.1BerechnenSiedenInhaltdesvondenKurveny=x+2x undy=4−xeingeschlossenenendlichenBereichs. 19.2FindenSieeinParameterintervall[a,b]⊂R,f¨urdasdurch 23x(t)=3t,y(t)=3t−t,t∈[a,b] einegeschlosseneKurvebestimmtwird.(Skizze?) WelchenInhalthatdieeingeschlosseneFl¨ache? 19.3BerechnenSiedieBogenl¨angederKurven. 3 (a)y= 2
3√ x−3 10
3√ x5,1≤x≤8 (b)r(ϕ)=eϕ,0≤ϕ≤π 19.4EinFaßwirddurcheinumdiex-AchserotierendesTeilst¨uckder Ellipse3x2+5y2=120(Maßeinheit:dm)erzeugt.DieH¨ohedesFasses betr¨agt1m,dieDurchmesserderBodenfl¨achenjeweils60cm. BestimmenSiedasVolumendesFasses. Zusatz:ErmittelnSiedieMantelfl¨achedesFasses. 19.5EinliegenderzylindrischerSpeicher(Radius2m,L¨ange5m),derzur H¨alftemitWassergef¨ulltist,wird¨ubereine3moberhalbder Zylinderachsebefindliche¨ Offnungleergepumpt.Diedabeiverrichtete ArbeitWkanndurcheinbestimmtesIntegraldargestelltwerden. (a)LeitenSieW¨uberdieRiemann-Summeher,indemSiedas VolumenparallelzurWasseroberfl¨acheind¨unneSchichtenzerlegen unddief¨urjedeSchichtaufzuwendendeArbeitermitteln. (b)BerechnenSieW. 19.6BestimmenSiedenInhaltdervonderKardioide r(ϕ)=1+cosϕ,0≤ϕ≤2π eingeschlossenenFl¨ache. AufgabenundL¨osungenimWeb:www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
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f¨urMathematik Prof.Dr.B.Hofmann29.April2016 HereMathematikII(MB)¨oh ¨ U20.bung:FunktionenmehrererVariablerI 2320.1GebenSief¨urfdenDefinitionsbereichinRbzw.Ran. BeschreibenSiedieNiveaumengenN.c p11222f(x,y)=,f(x,y,z)=ln1−x+y+z−1,f(x,y)= xysin2x y 20.2GegenwelchenWertstrebtf(x,y)=,(x6=y)f¨ur(x,y)→(0,0), x−y wennmansichdemUrsprungl¨angseinerGeradeninderx-y-Ebenen¨ahert? Wasfolgthierausf¨urdenGrenzwertvonfin(0,0)? BeschreibenSiedieNiveaumengenN.c 20.3BestimmenSiediepartiellenAbleitungensowiedenGradienten. ax323(a)f(x,y)=x+xy+y,(b)f(x,y,z)=,a∈R,222x+y+z y(c)f(x,y)=x 20.4BildenSieallepartiellenAbleitungenzweiterunddritterOrdnung 323vonf(x,y)=x+xy+y. 2−at20.5ZeigenSie,dassdiepartiellenAbleitungenderFunktionu(x,t)=esinxdie 2Gleichungu=auerf¨ullen(a∈R).txx 20.6BerechnenSiedieRichtungsableitungvon y−1x f(x,y)=√+ xy+1 anderStelle(x,y)=(1,1)inRichtungr:00 ⊤⊤⊤(a)r=(10)(b)r=(0.60.8)(c)r=(0.80.6). FindenSief¨urdieStelle(x,y)eineRichtung,sodassdieRichtungsableitung00 maximalwird. GebenSief¨urdieStelle(x,y)eineRichtungan,sodassdieRichtungsableitung00 verschwindet. Gibtesf¨urfeineStelle(x,y),sodassdortdieRichtungsableitunginjeder11 Richtungverschwindet? 20.7WielautetdieGleichungderTangentialebeneandieFl¨achez=f(x,y) f¨urx=xundy=y?00 x (a)f(x,y)=arctan,(x,y)=(2,1)00 y (b)f(x,y)=yln(y−3x),(x,y)=(0,1)00 AufgabenundL¨osungenimWeb:www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
