Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zur Modernen Theoretischen Physik I¨ SS 17
Prof. Dr. J¨org Schmalian Blatt 6 (Quiz)
Matthias Hecker, Markus Klug 30 Minuten Bearbeitungszeit, 07.06.2017
1. Warm-Up Fragen (5 Punkte)
Beantworten Sie die folgenden Fragen bitte kurz:
(a) Geben Sie die zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung in einer Dimension f¨ur ein Potential V(x) an. Wie erh¨alt man daraus die station¨are Schr¨odingergleichung ?
(b) Was sind die quantenmechanischen Eigenenergien En eines Teilchens mit Masse m in einer Dimension im PotentialV(ˆx) =k2xˆ2?
(c) Der Operator ˆA†= ˆAsei hermitesch. Was ergibt sich daraus f¨ur den Eigenwert von ˆA? (d) Was bedeutet es physikalisch f¨ur einen Messprozess, wenn zwei hermitesche Operatoren
nicht vertauschen, [ ˆA,B]ˆ 6= 0 ?
(e) Was gilt f¨ur die Eigenfunktionen zweier vertauschender Operatoren (ohne Entartung) ? 2. Harmonischer Oszillator (5 Punkte)
In dieser Aufgabe betrachten wir den eindimensionalen harmonischen Oszillator, gegeben durch den Hamiltonoperator
Hˆ = pˆ2
2m +mω2
2 xˆ2=~ω(ˆa†aˆ+1
2), (1)
wobei
ˆ a=
rmω 2~
ˆ x+ i
mωpˆ
und ˆa†= rmω
2~
ˆ x− i
mωpˆ
(2) die Ab- und Aufsteigeoperatoren sind. Die Eigenwertgleichung
Hˆ |ni=En |ni , n≥0 (3) ist gel¨ost, und wir kennen die Wirkung der Leiteroperatoren auf die Eigenfunktionen in Dirac Notation,|ni, n¨amlich
ˆ
a|ni=√
n|n−1i und ˆa†|ni=√
n+ 1|n+ 1i. (4) (a) Zeigen Sie, dass gilt [ˆa,aˆ†] = 1 .
(b) Berechnen Sie die Matrixelemente hn|ˆx|miund hn|H|mi.ˆ Zum Zeitpunktt= 0 sei ein Teilchen im Zustand
|ψ(0)i=A
|0i− |1i+1 2 |2i
. (5)
(c) Bestimmen Sie die Normierungskonstante A. Nehmen Sie anA∈R. (d) Bestimmen Sie nun1|ψ(t)izu beliebigen Zeitent >0.
(e) Was ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Messung im Zustand|ψ(t)˜ idie EnergieE1 zu messen ?
1Dies k¨onnen Sie auch tun, wenn Sie die Normierungskonstante nicht bestimmt haben.
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