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Dieses ¨ Ubungsblatt wird nicht bewertet und wird von den Tutoren beim ersten Tutorium vorgerechnet!

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Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zur Modernen Theoretischen Physik I¨ SS 15

Prof. Dr. J¨org Schmalian Blatt 0

Dr. Andreas Poenicke, Patrik Hlobil Besprechung 15.04.2015

Dieses ¨ Ubungsblatt wird nicht bewertet und wird von den Tutoren beim ersten Tutorium vorgerechnet!

1. Skalarprodukt im `2 undL2 Punkte

Das Skalarprodukt zweier Objekteψ, χ∈ V des VektorraumsV ist eine Abbildung ψ, χ∈ V → hψ|χi ∈C

mit den Eigenschaften (λ1, λ2∈C):

• (Sesqui-)Linearit¨at:

hψ|λ1χ12χ2i=λ1hψ|χ1i+λ2hψ|χ2i

1ψ12ψ2|χi=λ11|χi+λ22|χi (1)

• Hermitizit¨at:

hψ|χi=hχ|ψi (2)

• Positive Definitheit:

hψ|ψi:=||ψ||2≥0 (3)

(a) Betrachten wir zun¨achst den VektorraumCn, also die Menge dern-dimensionalen kom- plexen Vektoren c = (c1, c2, . . . , cn)T ∈Cn. Zeige, dass die Definition

ha |bi:=ab =

n

X

i=1

aibi (4)

die Eigenschaften (1)-(3) eines Skalarprodukts erf¨ullt wobei

A= (AT) a= (aT) (5)

(b) Der Abschlussn→ ∞von Cn definiert den Vektorraum der quadratisch summierbaren Zahlenfolgen

`2=

(an) :

X

n=1

|an|2<∞

(6) Die Folgenglieder an definieren dann die Eintr¨agea = (a1, a2, . . .)∈`2 eines unendlich dimensionalen, jedoch diskreten Vektors. Betrachte nun die Folgen

an+1= 1/√

n! bn= 1/n cn+1=qn (0<|q|<1),

berechne jeweils das Normquadrat||. . .||2und zeige damit, dass die Folgenan, bn, cn

`2.

1

(2)

(c) Seien nunf(x), g(x) :R→Ckomplexe Funktionen definiert f¨ur alle reelle Zahlen. Zeige, dass wir f¨ur diesen Funktionenraum ein Skalarprodukt durch

hf |gi:=

Z

−∞

dxf(x)g(x) (7)

definieren k¨onnen, d.h. die Eigenschaften eines Skalarprodukts erf¨ullt sind.

(d) Betrachte nun den Vektorraum der quadratintegrablen Funktionenf :R→C L2=

f :R→C

||f||2= Z

−∞

dx |f(x)|2<∞

(8) Zeige durch eine Entwicklung der Funktionen f(x) = P

n=0anPn(x) in eine geeignete orthonormale und vollst¨andige Basis1 {Pn} (n∈N0) mit

Z

−∞

dx Pn(x)Pmn,m

X

n=0

Pn(x0)Pn(x) =δ(x−x0)

(9)

dass die Projektion des FunktionenraumsL2auf den Vektorraum`2eine Isomorphie ist.

Es gen¨ugt hierbei zu zeigen, wie dieandurchf(x) ausgedr¨uckt werden k¨onnen und dass gilt

||f||2<∞ ⇔

X

n=0

|an|2<∞.

2. Erwartungswerte einer gaussf¨ormigen Wellenfunktion

Betrachte die Wellenfunktion (σ >0):

ψ(x) = 1 (2πσ2)1/4e

(x−x0 )2

2 (10)

(a) Zeige, dass die Wellenfunktion normiert ist bzgl. der Norm des Skalarprodukts (7).

(b) Berechne den Ortserwartungswerthxˆi=hψ|xˆ|ψi=R

−∞dx x· |ψ(x)|2. (c) Berechne die Varianz ∆X=p

hxˆ2i − hˆxi2 der Wellenfunktion.

(d) Berechne den mittleren Impuls des Teilchens2hpˆi=hψ|pˆ|ψi=R

−∞dx ψ(x)~ixψ(x).

(e) Berechne das Unsch¨arfeprodukt ∆X · ∆P und zeige, dass ein Gausspaket minimal Unsch¨arfe besitzt nach der Heisenberg’schen Unsch¨arferelation ∆X·∆P ≥~/2.

1z.B. in eine Fourierreihe

2ur eine ebene Welle mit Impuls p=~k(kist Wellenvektor) kann man sich leicht klar machen, dass der Operator ˆp=~ixder Impulsoperator ist. Hier gilt n¨amlich mitψ(x) =c·eikx=c·eipx/~dass

hpˆi=|c|2 Z

dxe−ipx/~~

ixeipx/~=p· Z

dx|ψ(x)|2=p wobei wirψnormiert hatten.

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