4.1 Leiteroperatoren des Drehimpulses

Prof. Dr. E. Epelbaum Donnerstag, 03. März 2016

Repetitorium zur

Einführung in die Quantenmechanik und Statistik Blatt 4

4.1 Leiteroperatoren des Drehimpulses

Die Leiteroperatoren des Drehimpulsoperators J~ˆwurden in der Vorlesung definiert als Jˆ+ = ˆJx+iJˆy , Jˆ−= ˆJx−iJˆy

Dabei sindJˆ_x,Jˆ_y,Jˆ_z die kartesischen Komponenten des Drehimpulsoperators, die der Kommu- tatorrelation [ ˆJi,Jˆj] = i~ijkJˆk gehorchen. Wir haben ebenfalls die orthonormalen Zustände

|jmieingeführt, die Eigenzustände zu J~ˆ² und Jˆ_z sind mit

~ˆ

J²|jmi=~²j(j+ 1)|jmi Jˆz|jmi=~m|jmi

(a) In der Vorlesung wurde gezeigt, dass

Jˆ±|jmi=c_jm|jm±1i (4.1)

Wir wollen nun den Koeffizienten c_jm bestimmen.

Hinweis: Alles, was Sie dazu brauchen, steht in dieser Aufgabe.

(b) Benutzen Sie Gleichung (4.1) mit dem gefundenen cjm, um die Matrixdarstellung der Jˆi

in der |jmi-Basis für j = ¹₂ zu berechnen.

4.2 Sphärischer unendlicher Potentialtopf

Für zentralsymmetrische Probleme können wir die Wellenfunktionψ(~r)alsψ(~r) =R(r)Ylm(ϑ, ϕ) schreiben, wobei Y_lm(ϑ, ϕ) die Kugelflächenfunktionen sind. Der Radialteil R(r) erfüllt die ra- diale Schrödinger-Gleichung:

− ~² 2m

1 r²

∂

∂r

r² ∂

∂r

+ ~²l(l+ 1)

2mr² +V(r)−E

R(r) = 0

Das Potential des unendlichen sphärischen Potentialtopfs ist durch V(r) =

( 0, r ≤a

∞, r > a

gegeben. Bestimmen Sie die erlaubten Energiewerte und die dazugehörigen normierten Wellen- funktionen für l= 0.

Hinweis: Substituieren SieR(r) = ^u(r)_r , um die Schrödinger-Gleichung zu vereinfachen.

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4.3 Bonus: Der sphärische harmonische Oszillator

In dieser Aufgabe leiten wir die Energien und Eigenfunktionen des sphärischen harmonischen Oszillators her, der durch das Potential

V(r) = 1 2mω²r²

gegeben ist. Setzen wir das Potential in die radiale Schrödinger-Gleichung füru(r) =rR(r)ein und wechseln zu den dimensionslosen Größen

ρ= rmω

~ r , λ= 2E

~ω erhalten wir die DGL:

d²u

dρ² − l(l+ 1)

ρ² u(ρ) + (λ−ρ²)u(ρ) = 0 (4.2) Mit dem Ansatz u(ρ) =ρ^l+1e^−ρ

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2 f(ρ) bekommen wir eine DGL fürf(ρ):

ρd²f dρ² + 2

l+ 1−ρ² df

dρ + [λ−(2l+ 3)]ρf(ρ) = 0

(a) Machen Sie einen Potenzreihenansatz fürf(ρ):

f(ρ) =

∞

X

k=0

αkρ^k

und finden Sie die Rekursionsbeziehung

α_k+2 = 2k+ 2l+ 3−λ (k+ 2)(k+ 2l+ 3)α_k

(b) Begründen Sie, dass die Reihe abbrechen muss und leiten Sie daraus die Energien als E =~ω(n+ 3

2) her. Welche Drehimpulse l sind für n= 0,1,2 erlaubt?

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