Der Reihenvektorraum `
2Christian Häckl
LMU München
München am 12. Dezember 2013
`
2als Hilbertraum
• Definitionen
Der `2 ist die Menge der Folgenak für die P
k
|ak|2 <∞, mitk∈N.
`2 ={ak |P
k
|ak|2<∞}
Das Skalarprodukt im`2 wird folgender Maßen definiert:
ha,bi=P
k
ak·bk.
Mit diesem Skalarprodukt und der Vollständigkeit von`2 kann man zeigen, dass `2 ein Hilbertraum ist.
`
2als Hilbertraum
• Skalarprodukt:
(i) Bilinearität
hαa+βb,ci=αha,ci+βhb,ci ha, αb+βci=αha,bi+βha,ci mita,b,c ∈`2 undα, β ∈R (ii) Symmetrie
ha,bi=hb,ai füra,b ∈`2 (iii) positiv definit
ha,ai ≥0 für allea∈`2 und ha,ai=0 genau dann, wenna=0.
`
2als Hilbertraum
• Vollständigkeit:
jede Cauchyfolge muss in `2 einen Grenzwert besitzen:
wähleai ∈`2, wobeiai Cauchyfolge ist.
für(ajk−aik) gilt(ajk−aik)→0 für j →i
⇒ jedes aik ist Cauchyfolge, da abschätzbar gegenP
i
aik
⇒aik →ak ∀ai ∈`2 und i → ∞, da ak ∈R undRvollständig ist.
Weilak in `2 ist liegt auch der Grenzwert in `2.
⇒ Vollständigkeit
=⇒ `2 ist Hilbertraum
Der Dualraum des `
2• Definition Dualraum
Zum Vektorraum`2 überRbezeichnet (`2)∗ den zu `2 gehörigen Dualraum,
d.h. die Menge aller linearen Funktionen von`2 nachR. Somit gilt für ein Element aus dem Dualraum:
ϕ:`2 →R;b7→ ha,bifür eina∈`2
⇒ϕ∈(`2)∗ ⇒ ∃a∈`2 ,so dass ϕ(bl) =ha,biist.
Der Dualraum des `
2Es existiert eine lineare Abbildung ϕ:`2 →R, für die gilt:
ϕ:`2 →R;b7→ ha,bi linear
• zeige ϕist beschränkt Es gilt:
|ϕ(b)|=|ha,bi|=
Cauchy−Ungleichung
≤ kak`2· kbk`2
⇒ da a∈`2 fest undb∈`2 giltkbk`2 <∞
⇒ϕ(b) ist beschränkt.
• Führe sup
kbk`2≤1
|ϕ(b)|<∞ ein.
Der Dualraum des `
2Beweis für den Reisz’schen Darstellungssatz:
• WähleΦ(a) = 12kak2`2−ϕ(a) DefiniereδcΦ(b) = lim
t→0Φ(b+tc), ∀c ∈`2,t∈ {0,1}
δcΦ(b) = lim
t→0{Φ(b) +t22kck2`2 +thb,ci −t·ϕ(c)}
Es giltΦ(b)≤δcΦ(b) und b löst:
(a) b∈`2 :hb,ci=ϕ(c) ∀c ∈`2 (b)b ∈`2 :Φ(b) =min
a∈`2Φ(a), da (b) äquivalent ist zu
b∈`2: 2tkck2`2 +hb,ci −ϕ(c)≥0, ∀c ∈`2,∀t ∈ {0,1}
und da mitc ∈`2 auch−c ∈`2 folgt Gleichheit.
Der Dualraum des `
2• Existenz des Minimums:
Φist nach unten beschränkt:
Φ(a)≥ 12kak2`2 − kϕk`2∗· kak`2 = 12(kak`2 · kϕk`2∗)2+12kϕk`2∗ ≥ 12kϕk2`2∗
⇒ ∃eine Minimalfolge (bk)k∈Nin `2 mit
k→∞lim Φ(bk) = inf
a∈`2Φ(a)>−∞
Der Dualraum des `
2• Existenz des Minimums:
Die Parallelungleichung liefert:
kbm−bnk2`2 =2kbmk2`2 +2kbnk2`2− kbm+bnk2`2 =
4·Φ(bm)+4·Φ(bn)−8·Φ((bm+bn)·12)≤4·Φ(bm)+4·Φ(bn)−8·inf
a∈`2Φ(a) fürm,n→ ∞ gilt:
m,n→∞lim kbm−bnk2`2 ≤0 ⇒bn ist Cauchyfolge da `2 vollständig, existiertb := lim
n→∞bn
aus der Stetigkeit vonΦ folgtΦ(bn) = inf
a∈`2Φ(a)
⇒ Existenz
Der Dualraum des `
2• Eindeutigkeit:
wähleb˜∈`2 als weitere Lösung
⇒b−˜b erfüllt die Gleichung(b−˜b,c) =0∀c ∈`2 wählec =b−b˜ ⇒ kbm−bnk2`2 =0, alsob= ˜b.
⇒ Eindeutigkeit
Der Dualraum des `
2• Noch zu zeigenkbk`2 =kϕk`2∗
Die Cauchy-Ungleichung liefert:|hb,ai| ≤ kak`2 · kbk`2
mita:=b gilt auch: sup
06=a∈`2
|hb,ai| ≥ kbk2`2
⇒ kϕk`2∗ = sup
06=a∈`2 hϕ,ai
kak`2 = sup
06=a∈`2 hb,ai
kak`2 =kbk`2
⇒`2∼=`2∗.
Das Fatou-Lemma für den `
2Das Fatou-Lemma:
Sei ak ∈`2 mit Punkten inR.
Gilt ak %
konvergiert monoton
apunktweise, d.h. alk %al für allek ∈N dann ist:
P
k
lim inf
l→∞ alk ≤lim inf
l→∞
P
k
alk
P
k
ak ≤lim inf
l→∞
P
k
alk.
Das Fatou-Lemma für den `
2Beweis des Fatou-Lemmas:
Wählebmk :=infak, mitm<l.
Dann gilt bk %lim inf
l→∞ al punktweise
nach Satz von Levi
=⇒ lim
m→∞
P
k
bmk =P
k
lim inf
l→∞ alk und es gilt
m→∞lim P
k
bmk ≤lim inf
l→∞
P
k
alk
⇒P
k
lim inf
l→∞ alk ≤lim inf
l→∞
P
k
alk
⇒ Beh.
Literaturverzeichnis
http://aam.mathematik.uni-freiburg.de/IAM/Teaching/scripts/
fa1_WS01_02/fa1_script.pdf
http://page.math.tu-berlin.de/~baerwolf/num_pde_ss10/
vortrag_riesz.darstellungssatz.pdf
