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1. (10P) Es sei K : [0, 1] × [0, 1] → C definiert durch

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Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 23.04.2018 Blatt 2

Ubungen zu Einf¨ ¨ uhrung in die Funktionalanalysis

1. (10P) Es sei K : [0, 1] × [0, 1] → C definiert durch

K(s, t) =

( t(s − 1), f¨ ur 0 ≤ t ≤ s ≤ 1, s(t − 1), f¨ ur 0 ≤ s ≤ t ≤ 1.

Es sei g ∈ C[0, 1]. Nach Beispiel 1.14 ist T g, definiert durch

T g(s) = Z

1

0

K(s, t)g(t) dt,

in C[0, 1]. Zeigen Sie, dass T g die eindeutige L¨ osung des folgenden Randwertpro- blems ist

(T g)

00

= g, (T g)(0) = 0, (T g)(1) = 0.

Hinweis: Wir haben keine Theorie zu Randwertproblemen gemacht. Man rechnet die Aussage einfach nach.

2. Zeigen Sie

(a) (5P) c/c

0

∼ = K , (b) (5P) c ∼ = c

0

.

Uberlegen Sie sich außerdem (ohne Punkte), warum (a) und (b) nicht gleichzeitig ¨ wahr sein k¨ onnen, wenn c und c

0

durch endlichdimensionale R¨ aume ersetzt werden.

Hinweis: Bei (a) verwenden Sie den Homomorphiesatz.

Abgabe: Mo, 30.04.2018, 12:20 Besprechung: 8. Mai

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