H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Bemerkung:Fallswirf¨urbeideTransformationendenVorfaktor1
2
gew¨ahlth¨atten,w¨urdenbeidedasHERMITEscheSkalarproduktrespek- tieren,allerdingsm¨ußtenwirunsdannst¨andigmitdieserWurzelvor denIntegralenherumschlagen.SohatjedeNormierungihreVor-und Nachteile.
§ 8: Die F ourier -T ransf ormation auf L
2
,
WiewirimvorigenParagraphengesehenhaben,verh¨altsichdie FOURIER-TransformationaufdemSCHWARTZ-Raumgenauso,wiewir eserwarten;leidersindaberdieFunktionenausdemSCHWARTZ-Raum f¨urdiemeistenAnwendungenzusch¨on,umn¨utzlichzusein.Wirbrau- chendahereinengr¨oßerenFunktionenraum,aufdemwirdieFOURIER- Transformationimmernochgutverstehenk¨onnen.Darumgehtesin diesemParagraphen. a)QuadratintegrierbareFunktionen Definition:EineFunktion:
heißtquadratintegrierbar,wenn
( )
2
existiertundkonvergiert.DerVektorraumallerquadratintegrierbarer FunktionenwirdmitL2 (
)bezeichnet. NachAussagec)deserstenLemmasaus
7a)istjedestarkabfallen- deFunktionquadratintegrierbar,d.h.derSCHWARTZ-Raum
(
)istein UntervektorraumvonL2 (
).Eristallerdingsdeutlichkleinerals L2 (
),dennbeispielsweiseistauchjederRechteckimpulsquadra- tintegrierbarundallgemeinerjedest¨uckweisestetigeFunktion,dieau- ßerhalbeinesendlichenIntervalls[
]identischverschwindet.Auch Funktionenwie
liegeninL2 (
),denn
2 =2
0
2
=1.
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen Funktionenwiesin
!
sindnat¨urlichnichtquadratintegrierbar;aberbei periodischenFunktionenbetrachtetmanohnehinsinnvollerweisenur Integrale¨ubereinePeriode,nichtsolche¨uberdiegesamtereelleAch- se.(DasistderausderElektrotechnikbekannteUnterschiedzwischen Energie-undLeistungssignalen;dieEnergiesignalesindgenaudiequa- dratintegrierbaren.) AufdemSCHWARTZ-RaumhabenwireinHERMITEschesProdukt, bez¨uglichdessenwirdasIntegral¨uber
2 kurzals
(
)schrei- benk¨onnen;wirwollenunsalsn¨achstes¨uberlegen,daßzumindestdie Definition (
" )=
( )
" (
)
auchf¨ur
"
# L2 (
)sinnvollist: Da
( )%$
" ( )2
& 0f¨uralle
# ,istnachderbinomischenFormel auch ( )('
" ( )
)1 2
* ( )2 +
" ( )
2
+ , also , -
( )
" (
)
)1 2
, -
( )
" (
)
+1 2
, -
" (
)
" (
)
f¨uralle
.) /# .RechtskonvergierenbeideIntegralef¨ur
.$
0 und
/0 ,alsoauchlinks,unddamitkonvergiertdasIntegralzu (
" )sogarabsolut. EshatalleEigenschafteneinesHERMITEschenProduktsmitAusnahme derpositivenDefinitheit–genauwiewiresvomperiodischenFallher gewohntsind.Wiedortbezeichnenwir 11 2= def
2 (
) kurz,wennauchschlampigalsL2 -Normvon
,denn–wieschonbeiden periodischenFunktionen–k¨onnendieFunktionen
3 =0mit
1 1 2=0 f¨urdiemeistenAnwendungenpraktischvernachl¨assigtwerden.
4 H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Definition:
# L2 (
)heißtNullfunktion,wenn
11 2=0ist. NachderCAUCHY-SCHWARZschenUngleichung,diewirin[HM1], Kap.1,
6c)ausgutemGrundauchf¨urProduktebewiesenhaben,die nurbisaufdiepositiveDefinitheitHERMITEschsind,istdannf¨ureine beliebigeFunktion
"
# L2 (
) (
" )
) 1
1 2'
1"
1 2=0, f¨ureineNullfunktion
verschwindetalsojedesProdukt(
" ),undum- gekehrtistauchjedeFunktionmitdieserEigenschafteineNullfunktion, denn
1 1 2istjadieWurzelaus(
). b)DistributionenaufdemSchwartz-Raum JedequadratintegrierbareFunktion
# L2 (
)definierteinelineare Abbildung
57698
:
:<;=;=;=> ;=;=;=?
L2 (
)
"@
( )
" (
)
Manbeachtedaßhier,trotzderkomplexwertigenFunktionen,keine komplexeKonjugationsteht!VergleichmitdemProdukt (
" )=
( )
" (
)
zeigt,daß
57698
(
" )=(
" )=(
"
) ist.Insbesondereist
5=6A8
genaudanngleichderNullabbildung,wenn
eineNullfunktionist. DaderSCHWARTZ-RaumeinUntervektorraumvonL2 (
)ist,k¨onnen wir
5
698
auf
(
)einschr¨ankenunddielineareAbbildung
698
:
:<;=;=;=> ;=;=;=?
(
)
B@
( )
B (
)
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
C betrachten.MitHilfedieserAbbildungwollenwirimfolgendenEi- genschaftenvon
undseinerFOURIER-Transformierten(¨uberderen Existenzwirnochnichtswissen)aufEigenschaftenstarkabfallender Funktionenzur¨uckf¨uhren. DieAbbildung
6 8existiertnichtnurf¨urquadratintegrierbareFunktio- nen
,sondernallgemeinerf¨urjedeFunktion,derenBetragh¨ochstens polynomialansteigt: Lemma:Fallseszueinerst¨uckweisestetigenFunktion
:
Konstanten
D# E 0und
F
#
HG
0gibt,sodaß ( ))
F'
I ist,existiert
6 8(
B )f¨uralle
B
#
(
). Beweis:F¨ur
B
#
(
)ist
J B ( )beschr¨anktf¨uralle
K# E 0,insbesondere alsof¨ur
K =
D und
K =
D +2.DamitistauchderenSummebeschr¨ankt, esgibtalsoeineKonstante
/L 0,f¨urdie
I (1+
2 )
B (
)
=
I B ( )+
I +2B ( )
)/ ist.Damitfolgt
(1+
2 )
( )
B (
)
)
(1+
2 )
F
I B ( )
)F
/ und ( )
B (
)
)
F
/ 1+
2. Da
F
/ 1+
2
=
F
/ arctan
=
F
/ konvergiert,istauchdasIntegral
698
(
B )¨uberdielinkeSeitederGlei- chungabsolutkonvergent. Außerdemhat
698
eineStetigkeitseigenschaft,diewirimHinblickauf sp¨atereAnwendungengleichetwasallgemeinerformulierenwollen:
H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 Lemma:
BNM
:
und
B :
seienFunktionenderart,daßdie Integrale
O
( )
BPM
(
)
und
O
( )
B (
)
existieren.Außerdemsei
beschr¨anktund
B ( )$
B M(
)
0f¨ur
Q
0 Dannist limM
R
( )
B M(
)
=
( )
B (
)
. Beweis:Ist
( )
) / f¨uralle
# ,soist
S
( )
B (
)
$
( )
B M(
)
S
)
O
( )
'
B ( )$
BPM
(
)
)
/
B ( )$
B M(
)
, undletztereistdas
/ -facheeinerNullfolge,alsoselbstNullfolge. WirwollendiesanwendenaufFunktionen
B ausdemSCHWARTZ-Raum undFunktionen
,dieh¨ochstenspolynomialansteigen,dieabernicht notwendigerweisebeschr¨anktsind.Umdaszukompensieren,f¨uhrenwir f¨urFolgenausdemSCHWARTZ-Raumeinenst¨arkerenKonvergenzbegriff ein,wobeiwir(wieschonbeiderDefinitioneinerstarkabfallenden Funktion)gleichsovielwienurirgendwiem¨oglichfordern:
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
T Definition:EineFolge
B MM
U
VvonFunktionen
BNM
#
(
)konver- giertgegen
B
#
(
),wennf¨uralle
W D#
E 0gilt: sup U
X
S
I B(
Y) ( )$
B(
Y) M( )
S 0f¨ur
Q
0 . Wirfordernalso,daßalleProduktevon
-PotenzenundAbleitungen von
BMgegendieentsprechendeKonstruktionf¨ur
B konvergieren.Unter dieserextremstarkenVoraussetzungverwundertnicht Lemma:
seieinest¨uckweisestetigeFunktion,dieeinerAbsch¨atzung derForm
( )
)F
I gen¨uge.Dannistf¨urjedegegen
B
#
(
) konvergenteFolgevonFunktionen
B M
#
(
) limM
R 6 8(
BPM
)=
698
(
B ). Beweis:Wirgehen¨ahnlichvorwiebeimBeweisderExistenzvon
6A8
(
B ): F¨urjedes
K#
E 0ist sup U
X
J B ( )$
BNM
(
)
eineNullfolge,esgibtalsozujedem
ZL
0ein
.#
E ,sodaß sup U
X
S
J B ( )$
BPM
(
)
S [Z f¨uralle
Q
L
. . InsbesonderegibtessolcheWertef¨ur
K =
D undf¨ur
K =
D +2,unddamit gibtesauchzujedem
ZL
0ein
.#
E ,sodaß sup U
X
I (1+
2 )
B ( )$
BM(
)
[Z f¨uralle
Q
L
. , d.h.
S
I B ( )$
B M(
)
S
[
Z 1+
2f¨uralle
QL . und
#
. Damitist
6A8
(
B )$
6A8
(
BM)
)
O
( )
B ( )$
BNM
(
)
)
F
I B ( )$
B M(
)
)
FZ 1+
2
=
F'
Z
\ H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 f¨uralle
Q
L
. 0.Da
F und
konstantsindundwir
Z beliebigklein machenk¨onnen,folgtdieBehauptung. Definition:EineDistributionaufdemSCHWARTZ-Raumisteineline- areAbbildung
6 :
(
)
,sodaßf¨urjedegegenein
B
#
(
) konvergenteFolgestarkabfallenderFunktionen
B Mgilt: limM
R 6A8
(
BM)=
6A8
(
B ). NachdemgeradebewiesenenLemmaistalso
698
f¨urjedest¨uckwei- sestetigeFunktion
,dienichtst¨arkeralseinPolynomw¨achst,eine DistributionaufdemSCHWARTZ-Raum. DassindallerdingsbeiweitemnochnichtalleDistributionenaufdem SCHWARTZ-Raum:Beispielsweiseistf¨urjedes
#
auch
]_^
:
` (
)
B@
B (
) eineDistribution:DieLinearit¨atistklar,undf¨ureinegegen
B
#
(
) konvergenteFolgestarkabfallenderFunktionen
BMistinsbesondere sup U
X
B ( )$
B M(
)
eineNullfolge,erstrechtalso
B (
)$
B M(
)
,sodaßesauchmitder StetigkeitkeineProblemegibt. DieseDistributionbezeichnetmanalsDIRACscheDelta-Distribution. NichtganzkorrektsprichtmanauchvoneinerDIRACschenDelta- Funktionundschreibt,geradesoalssei
]_^
vonderForm
6ba
, ] 0(
)=
O
c ( )
( )
und
]d^
(
)=
O
c ( $
)
( )
. DieSchreibweise
e
c (
$
)
( )=
(
)findetmannichtnurf¨ur Funktionen
ausdemSCHWARTZ-Raum,sondernoftauchf¨urbeliebige stetigeFunktionen
.
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
f PAULADRIENMAURICEDIRAC(1902–1984)wuchsauf inEnglandalsSohneinesSchweizerVatersundei- nerenglischenMutter.TrotzgroßemInteresseander Mathematikstudierteervon1918–1921Elektrotech- nikanderUniversit¨atBristol,daeraufkeinenFall Lehrerwerdenwollte.1921erhieltereinStipendi- umderUniversit¨atCambridge;dadiesesabernicht zumLebengereichth¨atte,blieberinBristol,woihn dieUniversit¨atvonStudiengeb¨uhrenbefreiteundsei- nenWechselindieMathematikerlaubte.Ab1923ar- beiteteerinCambridgeanseinerDissertation¨uber Quantenmechanik,dieer1926abschloß.1930folgte einBuch¨uberQuantenmechanik,f¨urdaser1933mitdemNobelpreisf¨urPhysikaus- gezeichnetwurde.1932bekamereinenLehrstuhlf¨urMathematikanderUniversit¨at Cambridge.NachseinerEmeritierunglebteerinFlorida,woer1971Physikprofessoran derFloridaStateUniversitywurde.ZentralesThemaseinerArbeitenwardieAnwendung mathematischerMethodenaufdieQuantenmechanikunddieRelativit¨atstheoriesowie auchAns¨atzezur(bisheutenichtbefriedigendgel¨osten)Vereinheitlichungdieserbeiden Theorien. WenneswirklicheineFunktion
c :
g¨abe,f¨urdie
g
c ( )
( )
=
(0) w¨aref¨urjede(starkabfallendeoderaucheinfachstetige)Funktion
,so m¨ußte
c ( )f¨ur
3 =0verschwinden–abgeseheneventuellvoneinigen isoliertenPunkten,dief¨urdieIntegrationbedeutungslossind.Damit m¨ußteaberunabh¨angigvomFunktionswert
c (0)undunabh¨angigvon derFunktion
dasIntegralverschwinden. Die ”L¨osung“,
c (0)=
0 zusetzen,f¨uhrtnichtzueinersinnvollenInter- pretationdeslinksstehendenIntegrals,dennwennmaneinenAusdruck wie2'
0 ¨uberhauptinterpretierenkann,dannwohlnurimSinnevon 2'
0 =
0 tun,unddamitw¨are2
c ( )=
c ( ),obwohldieDistributionen ` (
)
B@
B (0)und
` (
)
B@
2
B (0) wohldefiniertundoffensichtlichverschiedensind.
h H¨ohereMathematikIIWS2002/2003 DieSchreibweisemiteiner ”Funktion“
c istalsoinmehrfacherHinsicht problematisch,hatsichabergeradeindertechnischenLiteraturein- geb¨urgertundsolldaherauchhierverwendetwerden.Mansolltesich aberklarmachen,daßmannurAusdr¨uckewie
c (
$
i )
( )
=
(
i ) sinnvollinterpretierenkann,inanderenZusammenh¨angenhat
c ( )keine vern¨unftigeBedeutung. ProblemlosuntereinemIntegralzeichensindauchLinearkombinationen derArt
Mkj I =1
I
c (
$
I), dennLinearkombinationenvonDistributionensindwiederDistributio- nen.ImvorliegendenFallw¨arediesdieDistribution
Mkj I =1
I ] l, f¨ureinestarkabfallendeFunktion
B istalso
mM j I =1
I
c (
$
I)
n B ( )
=
M j I =1
I ] l(
B )=
M j I =1
I B (
I), unddamanzumindestdieDIRAC-Distributionaucheinfachalsline- areAbbildungauf
o0 (
)betrachtet,kannmandiesauchf¨ureine beliebigestetigeFunktion
B sinnvollinterpretieren. Soistbeispielsweise
O
c (
$1)
pq
=
pq und
1 2
c (
!$1)+
c (
! +1)
pq
! =
p
+
p
2=cos
.
Kap.3:HarmonischeAnalyseundIntegraltransformationen
DawirnurDistributionenaufdemSCHWARTZ-Raumbetrachten,sind auchvieleunendlicheLinearkombinationenwieetwa j I =1
] Ioder
j I =1
D
] I wohldefiniert,dennf¨ureinestarkabfallendeFunktion
B konvergieren sowohl j I =1
B (
D )alsauch
j I =1
DB (
D ). Wirk¨onneneineDistribution
6 aufdemSCHWARTZ-Raumnichtnurmit Konstantenmultiplizieren,sondernallgemeinerauchmitmiteinerbelie- bigoftstetigdifferenzierbarenFunktion
" ,dieh¨ochstenspolynomiales Wachstumhat:F¨ureineDistributionderForm
698
ist
6sr 8(
B )=
" (
)
( )
B (
)
=
( )
" ( )
B (
)
=
698
(
"B ), daauch
"B einestarkabfallendeFunktionist.Somitk¨onnenwirf¨ureine beliebigeDistribution
6 aufdemSCHWARTZ-RaumdasProdukt "
6 :
` (
)
B@
6 (
"B ) definieren.Beispielsweisegeh¨ort
c ( )zurDistribution
] 0:
` (
)
B@
] 0(
B )=(
B )(0)=0'
B (0)=0, d.h.
c =0.Man¨uberlegtsichleicht,daßf¨urjedeFunktion
" wieoben gilt
"
c =
" (0)
c . ProblematischeristdieDefinitioneinesProduktsvonDistributionen: DieobigeRechnungdr¨uckt
6sr 8ausdurch
698
und
" ,nichtaberdurch
698
und
6kr
,wiewiresbr¨auchten,umeinProduktzweierDistributionenzu definieren.AuchsonstigeVersuche,denAusdruck
6kr 8(
B )umzuformen, f¨uhrennichtzubrauchbarerenErgebnissen,undinderTatkannmanin derTheoriederDistributioneneinProduktnuralsLinearformaufdem
