L¨ohr/Winter Wintersemester 2013/14
Ubungen zur Vorlesung ¨ Grundlagen der Stochastik
Ubungsblatt 3 ¨
Bedingte Wahrscheinlichkeiten & Unabh¨ angigkeit
Wir setzen Grunds¨atzlich einen Ergebnisraum Ω mit WahrscheinlichkeitsmaßPvoraus.
Aufgabe 3.1. (4 Punkte)
(a) Von drei Karten ist eine auf beiden Seiten rot, eine auf beiden Seiten schwarz und die drit- te hat eine rote und eine schwarze Seite. Eine wird zuf¨allig gezogen und mit einer zuf¨allig gew¨ahlten Seite nach oben auf den Tisch gelegt. Diese Seite ist rot. Wie hoch ist die Wahr- scheinlichkeit, dass auch die nicht sichtbare Seite rot ist?
(b) In einer von zwei Urnen befinden sich 6 rote und 3 weiße B¨alle, in der anderen 3 rote und 6 weiße. Eine der Urnen wird zuf¨allig gew¨ahlt und aus dieser Urne werden zuf¨allig und unabh¨angig 2 B¨alle entnommen. Sei A das Ereignis, dass der erste Ball rot ist, und B das Ereignis, dass der zweite rot ist. Sind AundB unabh¨angig?
(c) In der Situation von (b) trete das Ereignis Aein. Wie wahrscheinlich ist es, dass die B¨alle aus der Urne mit 6 roten B¨allen gezogen wurden?
(d) In einer Urne befindet sich am Anfang ein schwarzer Ball. Nun wird eine M¨unze solange geworfen, bis das erste mal Kopf kommt. Jedes mal, wenn Zahl kommt werden weiße B¨alle in die Urne gelegt, und zwar soviele, dass sich die Anzahl der B¨alle in der Urne verdoppelt.
Am Schluss wird ein Ball zuf¨allig aus der Urne gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er schwarz ist?
Aufgabe 3.2. (4 Punkte)
(a) SeienA1, . . . , An Ereignisse. Zeige, dass
P\n
i=1
Ai
=
(P(A1)P(A2|A1)· · ·P(An|A1∩ · · · ∩An−1), fallsP(A1∩ · · · ∩An−1)6= 0
0, sonst
(b) SeienA, B, C Ereignisse. Zeige, dassP(A∩B |C) =P(A|C)P(B|A∩C).
(c) Skat wird mit 32 Karten gespielt, darunter vier Buben. Jeder der drei Mitspieler erh¨alt zehn Karten, und die zwei ¨ubrigen Karten bilden den ,,Skat”. Wir nehmen (obwohl dies in der Praxis normalerweise unrealistisch ist) an, dass die Karten so gut gemischt wurden, dass deren Verteilung auf die Spieler v¨ollig zuf¨allig ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass jeder der Mitspieler genau einen Buben auf der Hand hat.
Bitte wenden!
Aufgabe 3.3. (4 Punkte) Eine faire M¨unze wird mehrmals unabh¨angig geworfen. Wir interessieren uns f¨ur das Auftreten der Muster ,,dreimal Kopf hintereinander” und ,,zweimal Zahl hintereinander, gefolgt von Kopf”.
SeiAk das Ereignis ,,derk-te, (k+ 1)-te und (k+ 2)-te Wurf ergeben Kopf” undBk das Ereignis ,,derk-te und (k+ 1)-te Wurf ergeben Zahl, der (k+ 2)-te Kopf”.
(a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten vonAk undBk. (b) F¨ur welche k∈N sindB1undAk unabh¨angig?
(c) SeiCdas Ereignis, dass das Muster ,,dreimal Kopf” fr¨uher vorkommt, als das Muster ,,zwei- mal Zahl, Kopf”, also
C = A1∪A2\B1∪A3\(B1∪B2)∪ · · ·. Berechne die Wahrscheinlichkeit vonC.
Hinweis: Betrachte die bedingten Wahrscheinlichkeitenqij, dass C eintritt wenn der erste Wurf i und der zweite Wurf j ergibt. Berechne die qij mit Hilfe eines Gleichungssystems und berechne darausP(C).
Aufgabe 3.4. (4 Punkte)
SeienAundB Ereignisse. Zeige oder widerlege die folgenden Aussagen.
(a) GiltA=B, so k¨onnen AundB nicht unabh¨angig sein.
(b) AusP(B) = 0 folgt im Allgemeinen, dassAundB unabh¨angig sind.
(c) SindA undB unabh¨angig, so sind im Allgemeinen auch A undBc (das Komplement von B) unabh¨angig.
(d) SindAc undBc unabh¨angig, so sind im Allgemeinen auchA undB unabh¨angig.
(e) IstA unabh¨angig vonB undB unabh¨angig vonC, so ist auchAunabh¨angig vonC.
Abgabe bis sp¨atestens Di, 05.11. um 10:15 Uhr in den ¨Ubungskasten im Foyer
Aktuelle Vortr¨age im Probability Seminar:
Am29.10.gibt Anton Klimovsky (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag ¨uber From Exchangeability to Ultrametricity (II)
Abstract: I will review some representation results for exchangeable random arrays. As an application, I will sketch how these can be used to derive ultrametricity.
Am05.11.gibt Johannes Ruf (University of Oxford) einen Vortrag ¨uber
Supermartingales as Radon-Nikodym densities, Novikov’s and Kazamaki’s criteria, and the distribution of explosion times
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-3.03
