Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2018
Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik
Ubungsblatt 7¨
Unabh¨ angigkeit & 0-1 Gesetze
Aufgabe 7.1 (Faltung). (4 Punkte)
DasFaltungsproduktµ∗ν zweier Wahrscheinlichkeitsmaßeµ, ν aufRist wie folgt definiert:
Seien X, Y unabh¨angige Zufallsvariablen mit PX =µ und PY =ν. Dann istµ∗ν :=PX+Y
die Verteilung der Summe.
Sei poic die Poissonverteilung mit Parameter c >0, undλ[0,1] das Lebequemaß auf [0,1].
(a) Zeigen Sie, dassλ[0,1]∗poiceine Dichtef bzgl. des Lebesguemasses besitzt und berechnen Sie sie.
(b) Zeigen Sie, dass poic∗poic′ = poic+c′ ∀c, c′ >0.
Bemerkung: (poic)c≥0 bildet also unter Faltung eine Halbgruppe wenn wir poi0 = δ0 setzen.
(c) Ist die Faltung zweier geometrischer Verteilungen wieder eine geometrische Verteilung?
Aufgabe 7.2 (Borel-Cantelli). (4 Punkte)
Sei Berp die Bernoulli-Verteilung auf{0,1} mit Parameterp∈[0,1]. Sei (Xn)n∈N eine Folge unabh¨angiger Zufallsvariablen mitPXn = Ber1
n
. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Folge konvergiert, d.h.
P
Xn konvergiert f¨ur n→ ∞ = ?
Aufgabe 7.3 (stochastisch versus fast sichere Konvergenz). (4 Punkte) Sei (Xn)n∈Neine Folge unabh¨angiger, exponentialverteilter Zufallsvariablen mit Parameter 1,
Yn := Xn log(n).
(a) Zeigen Sie, dass Yn stochastisch konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
(b) Zeigen Sie P n
lim sup
n→∞
Yn= 1o
= 1. Insbesondere konvergiert Yn nicht fast sicher.
Hinweis: Zeigen Sie jeweils mit Borel-Cantelli: Yn ist f.s. unendlich oft ≥1; und f¨ur jedes α >1 ist Yn f.s. nur endlich oft ≥α.
Bitte wenden!
Aufgabe 7.4 (terminale σ-Algebra & Kolmogorovs 0-1 Gesetz). (4 Punkte) (a) Entscheiden Sie f¨ur die folgenden Mengen, ob sie im Allgemeinen in der terminalen
σ-Algebra einer Folge (Xn)n∈N von R-wertigen Zufallsvariablen enthalten sind.
1.
sup
n∈N
Xn>1 2. n
lim sup
n→∞
1 n
n
X
k=1
Xk∈[0,1]o
(b) Seien Xn, n ∈ N, unabh¨angig, gleichverteilt auf {−1,1} und Sn := Pn
k=1Xk. Zeigen Sie, dass lim sup
n→∞
Sn = ∞fast sicher gilt (also P({lim sup
n→∞
Sn=∞}) = 1).
Abgabe Mi, 23.05.2018 in der ¨Ubung
