L¨ohr/Winter Wintersemester 2013/14
Ubungen zur Vorlesung ¨ Grundlagen der Stochastik
Ubungsblatt 5 ¨
Erwartungswert & Varianz
Aufgabe 5.1. (4 Punkte)
(a) SeiX Poisson verteilt mit Parameter λ >0. Welches ist der wahrscheinlichste Wert f¨ur X (also welchesk maximiertP(X =k))?
Bemerkung:Solch einkheißt ModalwertoderModus vonX.
(b) Seien X und Y unabh¨angig und geometrisch verteilt zum (selben) Parameter p ∈ ]0,1].
Definiere Z :=X−Y. Berechne die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion pZ und den Erwar- tungswert E(Z) vonZ.
(c) Finde Zufallsvariablen X und Y mit E(XY) = E(X)E(Y), die jedoch nicht unabh¨angig sind.
Bemerkung:Gilt E(XY) =E(X)E(Y), so heißen X und Y unkorreliert.
Aufgabe 5.2 (Varianzen wichtiger Verteilungen). (4 Punkte) Berechne jeweils die Varianz Var(X) einer Zufallsgr¨oßeX, die
(a) binomialverteilt ist, mit Parameternn∈N undp∈[0,1], (b) Poisson verteilt ist, mit Parameterλ >0,
(c) geometrisch verteilt ist, mit Parameterp∈]0,1].
Hinweis:Gehe analog zur L¨osung von Aufgabe 4.4(a) vor.
Aufgabe 5.3 (Erwartungswert und Median als Minimierer). (4 Punkte) SeiX eine Zufallsgr¨oße mit VerteilungsfunktionFX undE(X2)<∞.
(a) Welche Konstantea∈RminimiertE (X−a)2
? Sei m1 := inf
x ∈ R
FX(x) ≥ 12 und m2 := sup
x ∈ R
FX(x) ≤ 12 . Der Wert m :=
1
2(m1+m2) heißtMedian vonX.
(b) Zeige, dass sowohlP(X ≤m)≥12, als auchP(X≥m)≥ 12.
(c) Gilt die Aussage aus (b) im Allgemeinen auch f¨urm1 stattm? Gilt sie im Allgemeinen f¨ur m2 stattm?
(d) Zeige, dass f¨ur allea∈Rgilt
E |X−a|
≥E |X−m|
.
Bitte wenden!
Aufgabe 5.4. (4 Punkte) Sei X eine Zufallsgr¨oße mit existierendem Erwartungswert E(X)∈ R, undFX die Verteilungs- funktion vonX. Zeige, dass
E(X) = Z ∞
−∞
1R
+(x)−FX(x) dx, wobei1R+(x) = 1 f¨urx≥0 und 0 sonst.
Hinweis:Aus der Analysis ist der Satz von der monotonen Konvergenz bekannt: sind f, f1, f2, . . . (Riemann-)integrierbare Funktionen vonRnachR+mit0≤f1≤f2≤ · · · und f(x) = lim
n→∞fn(x) f¨ur x∈R, so gilt R∞
−∞f(x) dx= lim
n→∞
R∞
−∞fn(x) dx.
Abgabe bis sp¨atestens Di, 19.11. um 10:15 Uhr in den ¨Ubungskasten im Foyer
Aktuelle Vortr¨age im Probability Seminar:
Am12.11.findetkeinVortrag statt.
Am19.11.gibt Patricia Alonso-Ruiz (Universit¨at Ulm) einen Vortrag ¨uber
Dirichlet form and Laplacian on fractal quantum graphs via resistance forms Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-3.03
