Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik

Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2018

Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik

Ubungsblatt 6¨

Stochastische Konvergenz & schwaches GGZ

Aufgabe 6.1 (Stochastische und f.s. Konvergenz). (4 Punkte) (a) Finden Sie eine Folge (Xn)_n∈N von Zufallsvariablen die stochastisch aber nicht fast

sicher konvergiert.

Sei nun (X_n)_n∈N eine Folge unabh¨angiger, auf [0,1] gleichverteilter Zufallsvariablen und Y_n := min

k∈{1,...,n}X_k.

(b) Entscheiden Sie, ob (Yn)_n∈^Nstochastisch konvergiert und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

(c) Entscheide Sie, ob (Yn)n∈N fast sicher konvergiert.

Aufgabe 6.2 (schwaches GGZ mit exponentieller Rate). (4 Punkte) F¨ur eineR-wertige ZufallsvariableY sei ϕ_Y(t) :=E(e^tY) die Momentenerzeugende Funktion.

Seien X1, X2, . . . unabh¨angige Zufallsvariablen undSn:=Pn k=1Xk. (a) Zeigen Sie: ϕ_Sn(t) =Qn

k=1ϕ_Xk(t).

(b) Die X_n seien nun zus¨atzlich identisch verteilt mit ϕ_Xn(t) = e^12t2. Zeigen Sie f¨ur jedes ε >0:

P 1

nS_n≥ε ≤ e⁻

1 2ε²n

Bemerkung: X_n ist standardnormalverteilt. Diese Verteilung wird uns noch begegnen.

Bemerkung:Insbesondere gen¨ugt(X_n) dem schwachen GGZ und wir haben eine expo- nentielle Konvergenzrate. Solche Raten werden in der Theorie der großen Abweichungen untersucht.

Aufgabe 6.3 (schwaches GGZ f¨ur zuf¨allige Summandenanzahl). (4 Punkte) Sei 1≤α <2 und (Xn)_n∈Neine Folge paarweise unkorrellierter, identisch verteilter, quadra- tintegrierbarer Zufallsvariablen mit E(X_n) = 0. F¨ur n ∈ N sei T_n eine N-wertige, quadra- tintegrierbare Zufallsvariable mit E(Tn) ≤ n^α, die von (Xn)_n∈^N unabh¨angig ist. Zeigen Sie, dass

1 n

Tn

X

k=1

X_k −→

n→∞ 0 stochastisch.

Hinweis:Verwenden Sie die Wald’schen Identit¨aten und Chebyshev.

Bitte wenden!

Aufgabe 6.4 (Unabh¨angigkeit von Ereignissen). (4 Punkte) Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Beweisen Sie die folgenden Bemerkungen aus der Vorlesung:

(a) Aus paarweiser Unabh¨angigkeit einer Familie von Ereignissen folgt noch nicht deren Unabh¨angigkeit.

(b) Ist (Ai)_i∈I eine unabh¨angige Familie von Ereignissen und J ⊆ I abz¨ahlbar, so gilt P T

i∈JA_i

=Q

i∈JP(A_i)

(c) Es existiert eine unabh¨angige Familie (Ai)_i∈I von Ereignissen mitP T

i∈IA_i 6=Q

i∈IP(A_i).

Dabei ist definitionsgem¨aß Q

i∈IP(Ai) = inf

J⊆I endlich

Q

i∈JP(Ai).

(d) Sind E1,E2,E3 ⊆ A mitE1 ⊥⊥ E3 und E2 ⊥⊥ E3 so gilt auch E1∪ E2 ⊥⊥ E3.

Abgabe Mi, 16.05.2018 in der ¨Ubung