Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2018
Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik
Ubungsblatt 12¨
Ergodentheorie
Aufgabe 12.1. (4 Punkte)
Seien F1 ⊆ F2⊆ · · · ⊆ A σ-Algebren und F =σ S
n∈NFn
. Zeigen Sie
n→∞lim P(A| Fn) = P(A| F) f.s.∀A∈ A.
Bemerkung: Dies haben wir verwendet, um zu beweisen, dass station¨are, irreduzible Mar- kovketten ergodisch sind.
Aufgabe 12.2 (Anwendung des Ergodensatzes). (4 Punkte) Seien U1, U2, . . . unabh¨angig und gleichverteilt auf [0,1], sowie
Xn :=
n
Y
k=1
(Uk+Uk+1)1
n.
Berechnen Sie limn→∞E(Xn).
Aufgabe 12.3 (¨aquivalente Formulierung der Ergodizit¨at). (4 Punkte) Zeigen Sie, dass ein station¨arer ProzessX = (Xn)n∈Ngenau dann ergodisch ist, wenn f¨ur alle A, B ∈ B⊗N gilt:
1 n
n−1
X
k=0
PX A∩τ−k(B)
−→
n→∞ PX(A)PX(B).
Aufgabe 12.4 (ergodische Maße sind singul¨ar). (4 Punkte) Seien X = (Xn)n∈N und Y = (Yn)n∈N0 zwei ergodische, E-wertige stochastische Prozesse.
Zeigen Sie, dass entwederPX =PY oder PX ⊥PY gilt.
Hinweis: Betrachten Sie f¨ur A∈ B⊗N die Funktion F:EN→R, F(x) = lim supn→∞
1 n
Pn−1
k=01A τk(x)
und verwenden Sie den Ergodensatz.
Bemerkung: Sind X und Y u.i.v. Bernoulli-verteilt, so erhalten wir Aufgabe 10.1(a).
Abgabe Mi, 27.06.2018 in der ¨Ubung
