¨Ubungsblatt Aufgabe 1: (a) Bestimmen Sie f¨ur die folgende Funktion alle p ∈ N mit f(h

MATHEMATISCHESINSTITUT

PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL

SINADAHM

10. OKTOBER2018

Numerik II – 1. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 1:

(a) Bestimmen Sie f¨ur die folgende Funktion alle p ∈ N mit f(h) = O(h^p) f¨ur h → 0. Hierbei bezeichnet ln den nat¨urlichen Logarithmus.

f(h) =

(√55^ln(|h|), h6= 0,

0, h= 0.

Hinweis: Es gilt exp(5)>55>exp(4).

(b) Bestimmen Sie alle p∈N, sodass

u⁰(x) = u(x+h)−u(x)

h +O(h^p) u⁰(x) = 3u(x)−4u(x−h) +u(x−2h)

2h +O(h^p)

u⁰(x) = u(u+h)−u(x−h)

2h +O(h^p)

gilt.

Aufgabe 2: Jede Vektornormk · k auf einem VektorraumV induziert eine Matrixnorm (Opera- tornorm) durch

kAk:= max

x6=0

kAxk

kxk = max

kxk=1kAxk.

Sei N die Anzahl der Gitterpunkte und h der Abstand zwischen benachbarten Gitterpunkten. Es sei U eine Gitterfunktion. Zeigen Sie, dass die zu der Vektornorm

kxk₂ = v u u t

n

X

i=1

x²_i

und der Gitterfunktionsnorm

kUk₂= v u u th

N

X

i=1

U_i²

zugeh¨orige Matrixnorm gegeben ist durch kAk₂ =

q

λ_max(A^TA) (Spektralnorm).

Aufgabe 3: Beim Aufstellen eines Finiten-Differenzen-Verfahrens mit zentrierten Differenzen und periodischen Randwertbedingungen ergibt sich die Matrix

A= 1 h²























−2 1 1

1 −2 1

1 −2 1

. .. ... ...

1 −2 1 0

1 −2 1

1 1 −2























∈R(m+1)×(m+1)

f¨urm≥2.

Zeigen Sie, dass die Matrix A die Eigenwerte λp = _h²2(cos(2πph)−1)) und die dazugeh¨origen Eigen- vektoren u^p mit Komponenten u^p_j =e^2πipjh besitzt.

Aufgabe 4:

• Schreiben Sie ein Programm zur numerischen L¨osung des Randwertproblems u⁰⁰(x) =f(x), 0< x <1

mit Dirichlet Randbedingungen

u(0) =α, u(1) =β

unter Verwendung von m+ 2 ¨aquidistanten Gitterpunktenx0, x1, . . . , xm+1.

• Betrachten Sie das Testbeispiel:

f(x) =e^−x

(1−100π²) sin(10πx)−20πcos(10πx) /5, α=β= 0 und m= 50,100,200.

• Stellen Sie f¨urm= 50,100,200 die numerische L¨osung zusammen mit der exakten L¨osung u(x) =e^−xsin(10πx)/5

graphisch dar.

• Berechnen Sie f¨ur die drei verschiedenen Werte von m jeweils den Fehler in einer geeigneten Norm.

Die Abgabe sollte die drei Grafiken sowie eine Tabelle mit den Fehlern in der entsprechenden Gitter- funktionsnorm f¨ur verschiedene Werte vonm umfassen.

Abgabe am 17. Oktober 2018 am Beginn der Vorlesung.

Besprechung in den ¨Ubungen ab 24. Oktober 2018.