VI Konvergenz von Summen unabh¨ angiger Zufallsvariablen
In diesem Kapitel sollen die P-fast sichere und die P-stochastische Konvergenz von Summen unabh¨angiger Zufallsvariablen untersucht werden .
18 Gesetze der großen Zahlen. Null-Eins-Gesetze
Definition 18.1. Sei {Xn}n=1,2,... eine Folge reeller, (P)- integrierbarer ZV. auf (Ω,A, P).
a) {Xn} gen¨ugt dem starken Gesetz der großen Zahlen :⇐⇒ 1
nSn := 1 n
n
X
i=1
(Xi−EXi) P−→−f.s. 0 (n → ∞) ;
b) {Xn} gen¨ugt dem schwachen Gesetz der großen Zahlen :⇐⇒ 1
nSn := 1 n
n
X
i=1
(Xi−EXi) −→P 0 (n→ ∞).
Eine einfache hinreichende Bedingung f¨ur die G¨ultigkeit des schwachen Gesetzes liefert :
Satz 18.1. Sei {Xn}n=1,2,... eine Folge (P)-integrierbarer, paarweise unkorrelierter ZV. auf (Ω,A, P) mit
(i) lim
n→∞
1 n2
n
X
i=1
V ar(Xi) = 0.
Dann gen¨ugt {Xn} dem schwachen Gesetz der großen Zahlen .
Beispiel 18.1. (Relative H¨aufigkeiten) Sei {Xn} eine unabh¨angige Folge von B(1, p)- verteilten ZV. auf (Ω,A, P) =⇒
Xn := 1 n
n
X
i=1
Xi −→P p (n→ ∞) bzw.
1 n
n
X
i=1
(Xi−EXi) −→P 0 (n→ ∞).
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Wegen EXi =p, V ar(Xi) =p(1−p) (i= 1,2, . . .) sind beide Aussagen ¨aquivalent und die Voraussetzungen von Satz 18.1 erf¨ullt .
F¨ur den Nachweis des starken Gesetzes beachte man : 1
n
n
X
i=1
(Xi−EXi) −→ 0 (n→ ∞) ⇐⇒
1 n
n
X
i=N
(Xi−EXi) −→ 0 (n→ ∞) ∀ N ∈N, d.h.
A ={ lim
n→∞
1
n Sn= 0} ∈ A(XN, XN+1, . . .) ∀ N ∈N.
Definition 18.2. Die σ-Algebra T =
∞
T
n=1
A(Xn, Xn+1, . . .) heißt σ-Algebra der terminalen Ereignisse bzgl. der Folge {Xn}n=1,2,....
Satz 18.2. (0-1-Gesetz von Kolmogorov) Sei {Xn}n=1,2,... eine unabh¨angige Folge von ZV. auf (Ω,A, P). Dann gilt f¨ur jedes terminale Ereignis A ∈ T :
P(A) = 0 oder P(A) = 1.
Bemerkung 18.1.
a) Das Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov zeigt, dass f¨ur eine unabh¨angige Folge integrierbarer ZV. entweder das starke Gesetz der großen Zahlen gilt oder
”fast nirgends“ Konvergenz vorliegt.
b) {Xn} gen¨ugt dem starken Gesetz der großen Zahlen ⇐⇒
F¨ur An(ε) :=
|Sn| ≥nε (n∈N, ε >0) gilt : P An(ε) ∞ oft
= P lim sup
n→∞
An(ε)
= 0 ∀ ε >0.
Vor dem Hintergrund der Bemerkung 18.1 b) ist f¨ur den Nachweis des starken Gesetzes das folgende Lemma von zentraler Bedeutung :
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Lemma 18.1. (Borel-Cantelli) Sei {An}n=1,2,... eine Folge von Ereignissen in (Ω,A, P). Dann gilt:
a)
∞
P
n=1
P(An) < ∞ =⇒ P lim sup
n→∞
An
= 0 ;
b) Ist die Folge {An} unabh¨angig mit
∞
P
n=1
P(An) = ∞, so folgt: P lim sup
n→∞
An
= 1.
Bemerkung 18.2. Statt der Voraussetzung in Lemma 18.1 b) gen¨ugt sogar die Existenz einer Teilfolge paarweise unabh¨angiger Ereignisse {Ank}k=1,2,... mit
∞
P
k=1
P(Ank) = ∞ vgl. Bauer (2002), Lemma 11.1/Korollar 11.2
.
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