Kapitel 11 Multivariate Verteilungen und Summen von Zufallsvariablen

Kapitel 11

Multivariate Verteilungen und Summen von Zufallsvariablen

Bisher hatten wir haupts¨achlich unabh¨angige, identische verteilte ZufallsvariablenX₁, . . . , X_n betrachtet, um Messreihen als Realisierungen von Zufallsvariablen zu modellieren.

Manchmal m¨ochte man aber auch das Zusammenwirken mehrerer ZufallsvariablenX₁, . . . , X_n untersuchen, die nicht unabh¨angig voneinander sind (z.B. Kursverl¨aufe von Aktien). Wir betrachten nun die gemeinsame Verteilung des Zufallsvektors X = (X1, . . . , X_n)^T und besch¨aftigen uns auch mit der Frage, wie die Summe von Zufallsvariablen verteilt ist.

11.1 Grundlegende Definitionen

Wir haben bereits die gemeinsame Verteilungsfunktion von Zufallsvariablen X₁, . . . , X_n kennengelernt. Wir bauen nun auf dieser Definition auf.

Definition 11.1.1 SeienX₁, X₂, . . . , X_nZufallsvariablen mit VerteilungsfunktionenF₁, . . . , F_n. Die gemeinsame Verteilungsfunktion vonX₁, X₂, . . . , X_nist definiert durch

F(x1, . . . , x_n) =P(X1 ≤x₁,· · ·, X_n≤x_n), (x1, . . . , x_n)∈Rⁿ.

Man nenntF auch die Verteilung des ZufallsvektorsX = (X1, . . . , X_n)^T.

Eine Funktionf :Rⁿ →[0,∞)heißt gemeinsame Dichte vonX₁, . . . , X_n, wenn gilt

F(x1, . . . , x_n) = Z xn

−∞

· · · Z x1

−∞

f(s1, . . . , s_n)ds₁. . . ds_n ∀(x1, . . . , x_n)∈Rⁿ.

Der Vektor

µ= (E(X1), . . . , E(Xn))^T 112

S. Ulbrich: Mathematik IV f¨ur Elektrotechnik, Mathematik III f¨ur Informatik 113

heißt (im Falle seiner Existenz) Erwartungswert(vektor) vonX = (X1, . . . , X_n)^T. Die Ma- trix

Σ =







Var(X1) Cov(X1, X₂) · · · Cov(X1, X_n) Cov(X2, X₁) Var(X2) · · · Cov(X2, X_n)

... . ..

Cov(X_n, X₁) Var(X_n)







heißt (im Falle ihrer Existenz) Kovarianzmatrix vonX = (X1, . . . , X_n)^T. Hierbei ist die Kovarianz zweier ZufallsvariablenX_i, X_j definiert durch

Cov(X_i, X_j) :=E((X_i−E(X_i))(X_j−E(X_j))), sofern Var(Xi)<∞,i= 1, . . . , n.

Bemerkungen:X = (X1, . . . , X_n)^T habe die gemeinsame Dichtef(x1, . . . , x_n).

• Es gilt

F_i(xi) =P(Xi ≤x_i) = Z xi

−∞

Z ∞

−∞

· · · Z ∞

−∞

f(s1, . . . , s_n)ds₁. . . ds_i−1ds_i+1. . . ds_n

| {z }

=fi(si)

ds_i.

und somit E(X_i) =

Z ∞

−∞

x_if(x_i)dx_i = Z ∞

−∞

· · · Z ∞

−∞

x_if(x₁, . . . , x_n)dx₁. . . dx_n

sowie

Cov(X_i, X_j) = Z ∞

−∞

· · · Z ∞

−∞

(x_i−E(X_i))(x_j −E(X_j))f(x₁, . . . , x_n)dx₁. . . dx_n.

Offensichtlich ist Var(X_i) =Cov(X_i, X_i).

• Man zeigt leicht, dass

P(a1 ≤X₁ ≤b₁, . . . , a_n ≤X_n ≤b_n) = Z bn

an

· · · Z b1

a1

f(s1, . . . , s_n)ds₁. . . ds_n.

Beispiel: Die multivariate Normalverteilung

Die wichtigste multivariate Verteilung ist die multivariate NormalverteilungN_n(µ,Σ): Sei X = 1 + (X₁, . . . , X_n)^T ein Vektor von normalverteilten Zufallsvariablen mit Erwartungs- wertµ= (E(X1), . . . , E(Xn))^T und KovarianzmatrixΣ, dann besitzt die multivariate Nor- malverteilung die Dichte

f(x) = 1 (2π)^n/2√

detΣe^{−12(x−µ)TΣ−1(x−µ)}, x∈Rⁿ.

S. Ulbrich: Mathematik IV f¨ur Elektrotechnik, Mathematik III f¨ur Informatik 114

2

Im Fall von Unabh¨angigkeit ist die gemeinsame Dichte das Produkt der Einzeldichten:

Satz 11.1.2 SeienX₁, ..., X_nunabh¨angige Zufallsvariablen mit Dichtenf₁(x1), . . . , fn(xn).

Dann hatX = (X1, . . . , X_n)^T die gemeinsame Dichte

(11.1) f(x₁, . . . , x_n) =f₁(x₁)·. . .·f_n(x_n).

Hat umgekehrt X = (X1, . . . , X_n)^T eine gemeinsame Dichte mit der Produktdarstellung (11.1), dann sindX₁, ..., X_nunabh¨angig.

Definition 11.1.3 Zufallsvariablen X₁, ..., X_n mit Var(Xi) < ∞, i = 1, . . . , n, heißen paarweise unkorreliert, wenn gilt

Cov(Xi, X_j) = 0 f¨ur allei6=j.

Unabh¨angigkeit hat paarwiese Unkorreliertheit zur Folge:

Satz 11.1.4 SeienX₁, . . . , X_nunabh¨angige Zufallsvariablen mit Var(Xi)<∞,i= 1, . . . , n.

Dann gilt

Cov(Xi, X_j) = 0 f¨ur allei6=j.

F¨ur gemeinsam normalverteilte Zufallsvariablen sind Unabh¨angigkeit und paarwiese Un- korreliertheit sogar ¨aquivalent.

Lemma 11.1.5 X = (X₁, . . . , X_n)^T seiN_n(µ,Σ)-verteilt. Dann sind X₁, . . . , X_n genau dann unabh¨angig, wenn sie paarwiese unkorreliert sind.

Beweis: Wegen Satz 11.1.4 ist nur zu zeigen, dass aus paarweiser Unkorreliertheit die Un- abh¨angigkeit folgt. SindX₁, . . . , X_npaarwiese unkorreliert, dann giltΣ =diag(σ²₁, . . . , σ²_n) und daher lautet die gemeinsame Dichte

f(x) = 1 (2π)^n/2√

detΣe^{−12(x−µ)TΣ−1(x−µ)} = 1

(2π)^n/2σ₁·. . .·σ_ne⁻

(xi−µi)2 2σ2

i =f₁(x₁)·. . .·f_n(x_n)

mit

f_i(x_i) = 1 σ_i√

2πe^{−12(xiσi−µi)2}. Also sindX₁, . . . , X_nunabh¨angig nach Satz 11.1.2. 2

S. Ulbrich: Mathematik IV f¨ur Elektrotechnik, Mathematik III f¨ur Informatik 115

11.2 Verteilung der Summe von Zufallsvariablen

Seien X₁, X₂ unabh¨angige stetige Zufallsvariablen mit Dichten f₁(x₁) und f₂(x₂). Wie sieht die Dichte vonX₁+X₂ aus? Wir ben¨otigen die folgende Definition.

Definition 11.2.1 Falls f¨ur die Funktionenf, g :R→Rdas Integral (f ∗g)(x) :=

Z ∞

−∞

f(x−y)g(y)dy

f¨ur allexexistiert, dann heißtf∗g die Faltung vonf undg.

Dann gilt

Satz 11.2.2 Seien X₁, X₂ unabh¨angige stetige Zufallsvariablen mit Dichten f₁(x1) und f₂(x₂). Dann hatX₁+X₂ die Dichtef ∗g.

Damit l¨aßt sich zeigen:

Satz 11.2.3 SeienX₁, X₂, . . . , X_nunabh¨angige Zufallsvariablen, dieN(µ_i, σ_i²)-verteilt sind.

Dann istX =X₁+X₂+. . .+X_nN(µ, σ²)-verteilt mit

µ=µ₁+µ₂+. . .+µ_n, σ² =σ₁²+σ₂²+. . .+σ_n².

Im Fall diskreter Zufallsvariablen gibt es analoge Aussagen.

Definition 11.2.4 F¨urf = (fi)i∈Z,g = (gi)i∈Z ist die diskrete Faltung vonf undg defi- niert durch

(f ∗g)i :=X

j∈Z

f_i−jg_j.

Analog zu Satz 11.2.3 gilt nun

Satz 11.2.5 Seien X₁, X₂ unabh¨angige diskrete, Z-wertige und setze f_X1 := (P(X₁ = i))i∈Z,f_X2 := (P(X2 =i))i∈Z. Dann istf_X1+X2 := (P(X1+X₂ =i))i∈Zgegeben durch

f_X1+X2 =f_X1 ∗f_X2.

Als Anwendung erh¨alt man z.B.

Satz 11.2.6 Seien X₁, X₂ unabh¨angige Poisson-verteilte Zufallsvariablen mit Parameter λ₁bzw.λ₂. Dann istX₁+X₂Poisson-verteilt mit Parameterλ₁+λ₂

Beispiel: Beim radioaktiven Zerfall einer Substanz werden ionisierende Teilchen frei. Mit einem Geiger-M¨uller-Z¨ahlrohr z¨ahlt man die innerhalb einer Minute eintreffenden Teil- chen. Deren Anzahl ist Poisson-verteilt. Hat man zwei radioaktive Substanzen mit Poisson- Verteilungen zu Parameternλ₁undλ₂, so gen¨ugt die Gesamtheit der pro Zeitintervall pro- duzierten Teilchen einer Poisson-Verteilungen zum Parameterλ₁+λ₂.