V Konvergenz von Zufallsvariablen und Verteilungen
16 Konvergenzbegriffe und deren Zusammenh¨ ange
Seien {Zn}n=1,2,..., Z reelle ZV. auf (Ω,A, P).
Definition 16.1. (P-fast sichere Konvergenz) Zn P−f.s.
−→ Z (n → ∞) :⇐⇒ P({ lim
n→∞Zn =Z}) = 1.
Bemerkung 16.1. Die Konvergenzmenge ist messbar, denn { lim
n→∞Zn=Z}= \
ε>0 rat.
[∞ n=1
{ω : |Zm(ω)−Z(ω)| < ε ∀ m≥n} ∈ A.
Folglich : P( lim
n→∞Zn =Z) = lim
ε↓0 rat.
n→∞lim P( sup
m≥n |Zm−Z| < ε).
Hieraus ergibt sich folgende Charakterisierung der P-f.s. Konvergenz :
Satz 16.1. Zn P−f.s.
−→ Z (n→ ∞) ⇐⇒ lim
n→∞P(sup
m≥n |Zm−Z| ≥ε) = 0 ∀ε >0.
Einen schw¨acheren Konvergenzbegriff stellt die P-stochastische Konvergenz dar :
Definition 16.2. (P-stochastische Konvergenz) Zn
−→P Z (n→ ∞)
:⇐⇒ lim
n→∞P(|Zn−Z| ≥ε) = 0 ∀ ε >0. Bemerkung 16.2. Aus Satz 16.1 folgt sofort :
Zn P−f.s.
−→ Z (n → ∞) =⇒ Zn
−→P Z (n → ∞). Die Umkehrung ist i.A. falsch.
Beispiel 16.1. Seien Ω = (0,1], A= (0,1]∩ B1, P =λ1
(0,1]∩B1. Definiere (an, bn] wie folgt :
a1 = 0 , b1 = 1 ; an+1 =
( bn , falls bn <1 ; 0 , sonst ;
bn+1 = min(an+1+n+11 ,1).
Dann gilt f¨ur Zn =I(an,bn] (n= 1,2, . . .) : Zn
−→P Z (n→ ∞), aber : Zn P−f.s.
−→/ Z (n→ ∞).
Bemerkung 16.3. Die Grenzvariablen unter P-f.s. bzw. P-stochastischer Konvergenz sind jeweils P-f.s. eindeutig bestimmt und es gelten Cauchy-Kriterien , d.h. :
a) Zn P−f.s.
−→ Z , Zn P−f.s.
−→ Ze =⇒ P(Z =Z) = 1 ;e b) Zn
−→P Z , Zn
−→P Ze =⇒ P(Z =Z) = 1 ;e c) Zn
P−f.s.
−→ Z ⇐⇒ {Zn} ist Cauchy-Folge P-f.s., d.h. ∃ A∈ A, P(A) = 1 : {Zn(ω)} ist Cauchy-Folge ∀ ω∈A;
d) Zn
−→P Z ⇐⇒ lim
n,m→∞P(|Zn−Zm| ≥ε) = 0 ∀ ε >0, d.h.
∀ ε >0 ∃ n0 : P(|Zn−Zm| ≥ε)≤ε ∀ n, m≥n0. Die P-stochastische Konvergenz l¨asst sich ¨uber ein Teilfolgenprinzip mittels P-f.s.
Konvergenz charakterisieren :
Satz 16.2. Zn
−→P Z (n→ ∞)
⇐⇒ ∀ {Znk} ⊂ {Zn} ∃ {Zn′k} ⊂ {Znk}: Zn′k
P−f.s.
−→ Z (k → ∞).
Aus hinreichend schneller P-stochastischer Konvergenz folgt die P-f.s. Konvergenz :
Satz 16.3. Falls P∞ n=1
P(|Zn−Z| ≥ε)<∞ ∀ ε >0, so folgt: Zn
P−f.s.
−→ Z (n → ∞).
Beispiel 16.2. Seien X1, X2, . . . i.i.d. ZV. mit a =EX1 und EX14 <∞. Dann gilt : Zn := Xn := 1
n Xn
i=1
Xi
P−f.s.
−→ a (n → ∞).
Bemerkung 16.4. Die Aussage in Beispiel 16.2 gilt bereits unter der Voraussetzung, dass E|X1| < ∞ (starkes Gesetz der großen Zahlen) , erfordert jedoch verfeinerte Beweismethoden (s.u.).
Unter entsprechenden Integrierbarkeitsvoraussetzungen haben wir einen weiteren Konver- genzbegriff f¨ur ZV. , die Konvergenz im r-ten Mittel :
Definition 16.3. Zn Lr
−→ Z :⇐⇒ E|Zn−Z|r → 0 (n→ ∞) . Hierbei wird Zn, Z ∈ Lr(P) vorausgesetzt (r≥1, fest).
Zur Erinnerung : a) Zn
Lr
−→ Z ⇐⇒ {Zn} Cauchy-Folge in Lr(P), d.h.
∀ ε >0 ∃ n0 : E|Zn−Zm|r< ε ∀ m, n≥n0; b) Zn
Lr
−→ Z =⇒ ∃ {Znk} ⊂ {Zn}: Znk
P−f.s.
−→ Z (k → ∞).
Bemerkung 16.5. Aus der Markov-Ungleichung folgt : Zn
Lr
−→ Z (n→ ∞) =⇒ Zn
−→P Z (n→ ∞). Die Umkehrung ist i.A. falsch.
Beispiel 16.3. Sei (Ω,A, P) = (0,1],(0,1]∩ B1, λ1
(0,1]∩B1
. Dann gilt f¨ur Zn =n I(0,1
n) (n = 1,2, . . .) : Zn
−→P 0, sogar Zn(ω) −→ 0 ∀ω ∈Ω, aber : Zn
Lr
−→/ 0 (r ≥1), denn E|Zn|r =nr 1
n −→/ 0.
Wir werden sp¨ater noch ausf¨uhrlicher auf den Zusammenhang zwischen P-stochastischer Konvergenz und Konvergenz imr-ten Mittel eingehen.
Abschließend sei noch ein letzter Konvergenzbegriff angesprochen, der f¨ur die Stochastik von zentraler Bedeutung ist, die Verteilungskonvergenz (schwache Konvergenz) :
Definition 16.4. Seien {Zn}, Z reelle ZV. mit VF. {Fn}, F (nicht notwendig auf demselben W-Raum). Dann konvergiert Zn nach Verteilung gegen Z , falls gilt:
n→∞lim Fn(z) = F(z) ∀ z ∈CF (Stetigkeitspunkte von F ). Schreibweise: Zn
−→D Z (n→ ∞).
Beispiel 16.4. (Zentraler Grenzwertsatz , s.u.) Seien X1, X2, . . . i.i.d. ZV. mit a = EX1, 0< σ2 :=V ar(X1)<∞. Dann gilt :
Zn :=
Pn i=1
Xi −na
√nσ2 = √
n Xn−a σ
−→D Z (n→ ∞), wobei PZ =N(0,1).
Satz 16.4. Seien {Zn}, Z reelle ZV. auf (Ω,A, P). Dann gilt: a) Zn
−→P Z (n→ ∞) =⇒ Zn
−→D Z (n→ ∞). Die Umkehrung ist i.A. falsch , aber f¨ur Z ≡a∈R1 : b) Zn
−→P a (n→ ∞) ⇐⇒ Zn
−→D a (n→ ∞).
Es gelten die folgenden Rechenregeln f¨ur den Umgang mit den eingef¨uhrten Konver- genzbegriffen (Lemma von Slutsky) :
Seien {Xn}, X bzw. {Yn}, Y reelle ZV. auf (Ω,A, P), a∈R : 1) Xn
−→D X =⇒ a) Xn±a −→D X±a ; b) aXn
−→D aX .
2) Xn
−→D X , Yn
−→P a =⇒ a) Xn±Yn
−→D X±a ; b) XnYn
−→D aX ; c) Xn/Yn
−→D X/a , falls a6= 0.
Achtung : Xn
−→D X , Yn
−→D Y =/⇒ Xn±Yn
−→D X±Y usw.
3) Falls X , Y sowie Xn, Yn unabh¨angig sind (∀ n), so gilt ferner : Xn
−→D X , Yn
−→D Y =⇒ a) Xn±Yn
−→D X±Y ; b) XnYn
−→D XY ; c) Xn/Yn
−→D X/Y , falls P(Y = 0) = 0.
Die P-f.s. , P-stochastische und Verteilungskonvergenz bleiben unter stetigen Trans- formationen erhalten :
4) Seien {Xn}, X w.o., h: (R1,B1)→(R1,B1) PX-f.s. stetig : a) Xn
P−f.s.
−→ X =⇒ h(Xn) P−→−f.s. h(X) ; b) Xn
−→P X =⇒ h(Xn) −→P h(X) ; c) Xn
−→D X =⇒ h(Xn) −→D h(X) .
