Dann gilt mit dem starken Gesetz der grossen Zahlen, da E[X1

SS 2014 Jetlir Duraj (geTeXt von Marcus Kaiser) Wahrscheinlichkeitstheorie

L¨osung zu H2, Blatt 12

Seien (X_n)_n≥1 i.i.d. mitL_P(X_i) =U_[0,1]. Sei 0< ε < ¹₂. Dann gilt mit dem starken Gesetz der grossen Zahlen, da E[X₁] = 1/2, dass

n 1

2 −ε

<

n

X

k=1

X_k < n 1

2 +ε

(1) schliesslich f¨ur n→ ∞ P-f.s. gilt.

Des weiteren k¨onnen wir mit Borel Cantelli (2. Version) wegen der Unabh¨angigkeit und X

n≥1

P

X_n+1 < 1 n

1 2 −ε

=X

n≥1

1 n

1 2 −ε

=∞ folgern, dass

X_n+1 < 1 n

1 2 −ε

unendlich oft P-f.s. (2)

Nun gilt aber zus¨atzlich, dass

(2) ⇔n²X_n+1 < n 1

2 −ε

unendlich oft P-f.s.

Kombiniert man nun (1) und (2) folgt die Behauptung.

L¨osung zu H3, Blatt 12

Seien die fairen M¨unzw¨urfe gegeben durch (Z_n)n≥1 i.i.d. mit L_P(Z_n) = ¹₂(δ−1+δ₁).

Weiter sei f¨ur n ∈ N Wn := −21{Zn=1} + 1{Zn=−1}. Wir erhalten, dass LP(Wn) =

1

2(δ−2+δ₁) mit E[W_n] =−¹₂ f¨ur n∈N. Als letztes definieren wir noch X_n :=Pn

i=1W_i und τ := inf{n ≥1|X_n = 1}.

Nun wollen wir pr¨ufen obe ein a >0 exisitiert, s.d. (a^Xn)n≥1 ein Martingal ist.

Die Integrierbarkeit und Adaptiertheit sind klar.

Zur Martingaleigenschaft: Mit den ¨ublichen Rechenschritten (Messbarkeit und Adaptiert- heit) stellt man fest, dass

E[a^Xn+1|Fn] =E[a^Xn ·a^Wn+1|Fn] =a^XnE[a^Wn+1] =a^XnE[a^X1] =a^Xn1

2 a⁻²+a^(!)

=a^Xn. Die Gleichung bei (!) ist genau dann erf¨ullt, wenn

1

2 a⁻² +a

= 1 ⇔ a⁻2 +a= 2 ^a>0⇔ 1 +a³ = 2a²

Definiere f(a) := a³ −2a² + 1. Dann gilt f(0) = 1 > 0, f(1) = 1 −2 + 1 = 0 und f(3/2) = 27/8−2·9/4 + 1 = (27−36 + 8)/8<0.

Da aber f(a) ^a→∞−→ +∞ gilt nach dem Zwischenwertsatz, dass ein a >1 existieren muss, s.d. (a^Xn)n≥1 ein Martingal ist.

Mit dem Optional Stopping Theorem ist dann aber auch (a^Xn∧τ)n≥1 ein Martingal.

Somit gilt, da X_τ = 1 gelten muss, dass

E[a^X1] = 1 =E[a^Xn, τ > n] +E[a^Xτ, τ ≤n] =E[a^Xn, τ > n] +a·P[τ ≤n].

Nun hata^Xn1{τ >n}die integrierbare Majorante 1, dennX_n≤0 auf dem Ereignis{τ > n}.

Ausserdem gilt wegen dem starken Gesetz der grossen Zahlen, da E[W_n] =−¹₂, n ∈ N, dass Xn

n→∞−→ −∞ P-f.s.

Mit der dominierten Konvergenz k¨onnen wir folgern, dass

n→∞lim E[a^Xn, τ > n] = 0 und erhalten somit, dass

P[τ <∞] = 1 a.