Um auch Wurzeln aus negativen Zahlen bilden zu k¨ onnen, f¨ uhrt man eine imagin¨ are Einheit i als eine der L¨ osungen von
i
2= −1 ein und bezeichnet
C = {z = x + iy : x, y ∈ R }
als die Menge der komplexen Zahlen. Dabei werden x und y Real- bzw.
Imagin¨ arteil genannt:
x = Re z , y = Im z . Insbesondere ist R = {z ∈ C : Im z = 0}.
Mit den Definitionen
z
1+ z
2= x
1+ x
2+ i(y
1+ y
2)
z
1· z
2= x
1x
2− y
1y
2+ i(x
1y
2+ x
2y
1)
von Addition und Multiplikation, die im Einklang mit i
2= −1 stehen,
Beispiel
Addition und Multiplikation komplexer Zahlen (i) Addition:
(2 + 3i) + (4 − 5i) = (2 + 4) + (3 + (−5))i
= 6 − 2i (ii) Multiplikation:
(2 + 3i) · (4 − 5i) = 8 − 10i + 12i − 15i
2|{z}
=−15
= 23 + 2i
(i
2= −1)
F¨ ur eine komplexe Zahl z = x + iy definiert man die konjugiert komplexe Zahl
¯
z = x − iy .
Geometrisch bedeutet die komplexe Konjugation eine Spiegelung an der x-Achse: (x, y) → (x, −y ).
Die komplexe Konjugation ist mit den arithmetischen Operationen vertr¨ aglich:
z
1◦ z
2= ¯ z
1◦ ¯ z
2f¨ ur ◦ = +, −, ∗, /.
Beispiel
Vertr¨ aglichkeit von komplexer Konjugation mit dem Bilden von Summe und Produkt der komplexen Zahlen z = 2 − i, w = 1 + 3i
(i) Addition:
z + w = (2 + i) + (1 − 3i) = 3 − 2i z + w = (2 − i) + (1 + 3i) = 3 + 2i Ubereinstimmung ¨
(ii) Multiplikation:
z w = (2 + i)(1 − 3i) = (2 + 3) + (1 − 6)i = 5 − 5i
zw = (2 − i)(1 + 3i) = (2 + 3) + (−1 + 6)i = 5 + 5i
gleiches Resultat 5 − 5i
Der Betrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist als
|z | = p
x
2+ y
2= √ z ¯ z definiert.
F¨ ur z ∈ R ist diese Definition konsistent mit der Definition der Betragsfunktion f¨ ur reelle Zahlen und besitzt analoge Eigenschaften.
Positivit¨ at:
|z| ≥ 0, |z | = 0 ⇐⇒ z = 0 Multiplikativit¨ at:
|z
1z
2| = |z
1| |z
2|, |z
1/z
2| = |z
1|/|z
2|, z
26= 0 Dreiecksungleichung:
|z
1| − |z
2|
≤ |z
1+ z
2| ≤ |z
1| + |z
2|
Beweis
(i) Positivit¨ at X (ii) Multiplikativit¨ at:
Produkt:
|z
1z
2|
2= |(x
1+ iy
1)(x
2+ iy
2)|
2= |(x
1x
2− y
1y
2) + i(x
1y
2+ x
2y
1)|
2= x
12x
22+ y
12y
22+ x
12y
22+ x
22y
12, da die Terme ±2x
1x
2y
1y
2sich aufheben
Ubereinstimmung mit ¨
|z
1|
2|z
2|
2= (x
12+ y
12)(x
22+ y
22) Quotient:
Anwendung der bewiesenen Identit¨ at f¨ ur das Produkt von Betr¨ agen
|(z
1/z
2)||z
2| = | (z
1/z
2)z
2| {z }
z1
| ⇐⇒ |z
1/z
2| = |z
1|/|z
2|
Quadrieren der Ungleichungskette und Subtraktion von |z
1| + |z
2|
−2|z
1||z
2| ≤ z
1¯ z
2+ ¯ z
1z
2≤ 2|z
1||z
2| Re z = (z + ¯ z )/2, u v ¯ = ¯ u v ¨ aquivalente Ungleichung
|Re(z
1¯ z
2)| ≤ |z
1||z
2|
bzw., da z
1¯ z
2= (x
1+ iy
1)(x
2− iy
2) = (x
1x
2+ y
1y
2) + (. . .)i,
|x
1x
2+ y
1y
2| ≤ q
x
12+ y
12q
x
22+ y
22erneutes Quadrieren und Subtraktion von x
12x
22, y
12y
222x
1x
2y
1y
2≤ x
12y
22+ x
22y
12X , da (x
1y
2− x
2y
1)
2≥ 0
Beispiel
Illustration der Eigenschaften des Betrags f¨ ur z
1= −1 + 2i, z
2= 3 − 4i (i) Berechnung des Betrags (alternative Methoden):
|x + iy| = p
x
2+ y
2|z
1| = q
(−1)
2+ 2
2= √ 5
|z|
2= z z ¯ , dritte binomische Formel
|z
2| = p
(3 − 4i)(3 + 4i) = p
9 − 16i
2=
i2=−1
