Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen

Tutorien Höhere Mathematik I, WS 2012/13

1. Berechnen Siez₁+z₂, z₁−z₂, z₁·z₂, ^z_z¹

2, ^z_z²

1, _z¹

1, z₂·z₁, z₂·z₂, (z₁+z₂)²,z₂⁻², 4z₁−iz₂ für z₁ = 2 + 3iundz₂= 3−5i.

2. Bestätigen Sie folgende Beziehungen fürz, w∈C: (a)z−w= ¯z−w,¯ (b) z¯z=|z|², (c) _w^z

= _w^z¯_¯, (d) Im(z) = _2i¹(z−z).¯ 3. (a) Gibt es komplexe Zahlenz=x+iy (x, y∈R) mit der Eigenschaft |z|<Re(z)?

(b) Skizzieren Sie die Menge aller komplexen Zahlemz=x+iy (x, y∈R), die die beiden Ungleichungen

|z−i| ≤2 und |z+i| ≤2 gleichzeitig erfüllen.

(c) Skizzieren Sie die Menge aller komplexen Zahlenz=x+iy (x, y∈R), die beide der folgenden Bedingungen erfüllen:

Re(z)·Im(z)>0 und |Re(z) + Im(z)|= 1.

(d) Skizzieren Sie die Menge aller komplexen Zahlenz=x+iy(x, y∈R), die beide der folgenden Ungleichungen erfüllen:

|Re(z)−Im(z)|<1 und |Re(z) + Im(z)| ≤1.

Hinweis: Aus Ihren Skizzen muss man ablesen können, welche der Randpunkte zur gesuch- ten Menge gehören und welche nicht.

4. Wie lautet die kartesische Form der Zahlen z1 = 2(cos^π₃ +isin^π₃) undz2 =e^i3π4 ? 5. Wie lauten die Polarformen der Zahlenz₁ = 4i,z₂ =√

2 +√

6i,z₃= 3√

3−3i,z₄=−3−3i und z5 = −42? Notieren Sie jeweils sowohl die exponentielle Variante als auch diejenige mit Sinus und Kosinus. Berechnen Sie damit:

(a)z6= ^z_z²⁴

1, (b)z7 = ^z_z³³4 4

, (c)z8= ^z_z^2z4

32 .

6. (a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl z= cos(π/2) +isin(π/2) + 3−5i

2−i .

(b) Seiϕ∈Rgegeben. Welchen Betrag besitzt die komplexe Zahl z= 2(cos(ϕ) +isin(ϕ))(cos(3ϕ) +isin(3ϕ))?

7. (a) Berechnen Sie die vierten Wurzeln der imaginären Einheit i.

(b) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n, für die die komplexe Zahl z= 1

2

√ 2 +i1

2

√ 2 die Gleichungzⁿ= 1 erfüllt.

1

8. Bestimmen Sie die komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen:

(a)z⁴+ 16 = 0, (b) z⁴−16i= 0, (c)z(z³+ 27) = 0, (d) ^z+1₄ = _z−1¹⁺ⁱ. 9. Beweisen Sie die Formeln

sin 3x= 3 sinx−4 sin³x und cos 3x= 4 cos³x−3 cosx mit Hilfe der de Moivreschen Gleichung.

10. Geben Sie die komplexen Lösungen folgender quadratischer Gleichungen an:

(a)z²+ 2x+ 3 = 0, (b)z²+αx+ 4 = 0 (α∈R).

2