Differentialrechnung II Tutorien Höhere Mathematik I, WS 2012/13 1. Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema der folgenden Funktionen. (a)

Differentialrechnung II

Tutorien Höhere Mathematik I, WS 2012/13

1. Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema der folgenden Funktionen.

(a) f : (0, 10] → R , f (x) = ^3x−2 _x (b) g : (0, ∞) → R , g(x) = ^x

^+2x+1 _x .

2. Führen Sie für folgende Funktionen eine Kurvendiskussion durch.

(a) f : R → R , f(x) = _x

^x +1 ,

(b) f : R \ {−1, 1} → R , f (x) = ^x _x

⁺¹ −1 , (c) f : R \ {−1, 1} → R , f (x) = _x

^x −1

, (d) f : R → R , f(x) = x ² e ^−x

,

(e) f : (0, ∞) → R , f (x) = x(ln x) ² . 3. Berechnen Sie folgende Grenzwerte.

(a) lim

x→0+

ln tan(7x)

ln tan(2x) , (b) lim

x→0+ [(ln x)(ln(1 − x))], (c) lim

x→∞

ln(a+be √

)

c+dx

(b, c, d > 0), (d) lim

x→

(tan x) ^tan(2x) .

4. Bestimmen Sie das Taylor-Polynom vom (höchstens) n-ten Grad (mit Entwicklungsstelle x = x ₀ ) zu folgenden Funktionen.

(a) f (x) = (1 + sin x)

, x ₀ = ^π ₂ , n = 3, (b) f (x) = √

1 + x, x 0 = ^π ₂ , n = 2, (c) f (x) = sin x, x 0 = ^π ₂ , n = 2.

Zusatzaufgaben für Interessierte

5. Mit Hilfe des Mittelwertsatzes zeige man, dass |cos y − cos x| ≤ |y − x| für alle x, y ∈ R gilt. (“Lipschitz-Stetigkeit“ des Kosinus)

6. Mit welchem relativen Fehler muss man den Radius einer Kugel messen, damit der relative

Fehler des Kugelvolumens 1 % nicht übersteigt?