Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variabler Tutorien Höhere Mathematik II, Sommersemester 2013 1. Berechnen Sie für

Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variabler

Tutorien Höhere Mathematik II, Sommersemester 2013

1. Berechnen Sie für f, g : R ² → R

(a) f (x, y) = x ² + e ^x y + e ^y x ² − 3x ln y (b) g(u, v) = u ³ + 2u ² v + v ³

sämtliche partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung.

2. Gegeben seien zwei stetig differenzierbare Funktionen f, g : R → R und eine reelle Zahl c. Zeigen Sie dass

u : R ² → R , u(x, t) := f (x + ct) + g(x − ct) die Wellengleichung

∂ ²

∂t ² u(x, t) = c ² ∂ ²

∂x ² u(x, t) für alle (x, t) ∈ R ² erfüllt.

3. Wir betrachten die Funktion f : R ² → R , f (x, y) = 2x ² + y ² . (a) Zeichnen Sie eine Karte (Höhenlinienbild) der Funktion.

(b) Vergewissern Sie sich, dass der Punkt [ ¹ ₂ , ¹ ₂ , ³ ₄ ] ^T auf dem Graphen von f liegt.

(c) Bestimmen Sie im Punkt [ ¹ ₂ , ¹ ₂ ] ^T den Gradienten und die Gleichung der Tangentialebene.

(d) Bestimmen Sie im Punkt [ ¹ ₂ , ¹ ₂ ] ^T die Ableitung in Richtung a = [1, 0] ^T . In welcher Richtung besitzt die Tangentialebene den steilsten Anstieg, und wie kann man diesen beziffern?

(e) Finden Sie eine Richtung, in der die Tangente an den Graphen von f den Anstieg ³ ₂ √ 2 hat.

4. Gegeben ist die Funktion f : R ² → R ,

f (x, y) = x ² + 2xy + 8y ² − 6x − 34y + γ.

Bestimmen Sie den reellen Parameter γ so, dass der Graph von f die Ebene z = 7 berührt. Geben Sie die Koordinaten des Berührpunkts an.

5. Kristallstrukturen werden häufig mit Röntgenstrahlen untersucht, die beim Durchlaufen des Kri- stalls an den Gitterebenen reflektiert und abgelenkt werden („Röntgenbeugung“).

Mit Hilfe der Bragg-Gleichung

d = 2 sin ϑ nλ

kann man den Abstand d zwischen parallelen Gitterebenen aus der Wellenlänge λ der Röntgen- strahlung und dem Winkel ϑ zwischen Röntgenstrahl und Gitterebene (Glanz- oder Braggwinkel) errechnen. n ist eine natürliche Zahl, die die Beugungsordnung angibt. Jede Schar paralleler Gittere- benen hat einen charakteristischen Gitterebenenabstand d und damit auch einen charakteristischen Braggwinkel.

Schätzen Sie den Fehler ∆d des berechneten Gitterabstands in Abhängigkeit von den Mess- oder Eingangsfehlern ∆ϑ und ∆λ mit Hilfe des totalen Differential ab.

6. In einem Experiment wird aus einer Messung von Spannung U und Stromstärke I ein Widerstand

mit dem Ohmschen Gesetz R = ^U _I berechnet. Wie hängt der relative Fehler des Widerstands mit

den relativen Fehlern von Spannung und Stromstärke zusammen?

7. Berechnen Sie die Ableitungen (Jacobi-Matrizen) folgender Funktionen:

(a) f ~ : R ³ → R ² , f ~ (x, y, z) = h

y

ze

i , (b) ~ g : R ² → R ³ , ~ g(x, y) =

_{x sin y}

y sin x sin x cos y

, (c) ~h : R ² → R ² , ~h(r, ϕ) = r cos ϕ

rsin ϕ

, (d) ~ γ : R → R ³ , ~ γ(t) = h _{cos t}

sin t t

i .

Haben Sie eine Vorstellung, was die Funktion γ in (d) beschreibt?

8. Gegeben seien

g : R → R ² , g(t) = cos t

t ³

, f : R ² → R , f (x 1 , x 2 ) = x ² ₁ sin x 2 .

Berechnen Sie die Ableitung der Komposition h : R → R , h := f ◦ g mit Hilfe der Kettenregel.

9. Durch die Gleichung y ² − x ³ − x ² = 0 (x ≥ −1) wird eine Kurve in der x − y−Ebene beschrieben.

Bestimmen Sie die Kurvenpunkte mit horizontaler Tangente sowie den Schnittwinkel der Kurven- tangenten im Punkt [0, 0] ^T .

−1 −0.5 0 0.5

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6

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