Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variabler
Tutorien Höhere Mathematik II 18.-20.6.2012
1. Berechnen Sie für f, g:R2→R
(a) f(x, y) =x2+exy+eyx2−3xlny (b) g(u, v) =u3+ 2u2v+v3
sämtliche partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung.
2. Gegeben seien zwei stetig differenzierbare Funktionen f, g : R→R und eine reelle Zahlc. Zeigen Sie dass
u:R2→R, u(x, t) :=f(x+ct) +g(x−ct) die Wellengleichung
∂2
∂t2u(x, t) =c2 ∂2
∂x2u(x, t) für alle(x, t)∈R2erfüllt.
3. Wir betrachten die Funktionf :R2→R, f(x, y) = 2x2+y2. (a) Zeichnen Sie eine Karte (Höhenlinienbild) der Funktion.
(b) Vergewissern Sie sich, dass der Punkt(12,12,34)T auf dem Graphen vonf liegt.
(c) Bestimmen Sie im Punkt(12,12)T den Gradienten und die Gleichung der Tangentialebene.
(d) Bestimmen Sie im Punkt(12,12)T die Ableitung in Richtunga= (1,0)T. In welcher Richtung besitzt die Tangentialebene den steilsten Anstieg, und wie kann man diesen beziffern?
(e) Finden Sie eine Richtung, in der die Tangente an den Graphen vonf den Anstieg 32√ 2 hat.
4. Gegeben ist die Funktionf :R2→R,
f(x, y) =x2+ 2xy+ 8y2−6x−34y+γ.
Bestimmen Sie den reellen Parameter γso, dass der Graph von f die Ebene z= 7berührt. Geben Sie die Koordinaten des Berührpunkts an.
5. Gegeben seien
g:R→R2, g(t) = cost
t3
, f :R2→R, f(x1, x2) =x21sinx2.
Berechnen Sie die Ableitung der Kompositionh:R→R, h:=f ◦gmit Hilfe der Kettenregel.
6. Durch die Gleichungy2−x3−x2= 0 (x≥ −1)wird eine Kurve in derx−y−Ebene beschrieben.
Bestimmen Sie die Kurvenpunkte mit horizontaler Tangente sowie den Schnittwinkel der Kurven- tangenten im Punkt (0,0)T.
−1 −0.5 0 0.5
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6
