man auch die Information über die Richtung der Bewegung

(1)

1

4 3D-Kinematik

(2)

Vektoren

Zur Charakterisierung der Bewegung eines Körpers benötigt

man auch die Information über die Richtung der Bewegung

(3)

3

Richtung der Bewegung

Vektoren

(4)

Geschwindigkeits-Feld

Jedem Punkt im Raum

wird ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet:

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

) , , , ( v

) , , , ( v t)

z, y, v(x,

z y x

t z y x

t z y t) x

z,

y,

(x,

(5)

5

Vektoren

4 blocks west

10 blockssouth

10.77 blocks

Ziel

Start

)² Blocks 4

( )² Blocks 10

( Blocks

77 .

10 = +

Abstand Start-Ziel

(6)

Skalare und vektorielle Größen

Skalare: Physikalische Größen ohne Richtungsabhängigkeit

Temperatur, Druck, Energie, Masse, Zeit

Vektoren: Physikalische Größen mit Richtungsabhängigkeit

Translation, Geschwindigkeit, Beschleunigung

→

a

→

b

→

c

Vektorsumme

→

c = a + b

→

a + b = b + a Kommutativgesetz

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ + +

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

^→

a

^→

b

^→

c

^→

a

^→

b

^→

c

Assoziativgesetz

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

+

=

−

=

^→ ^→ ^→ ^→

→

b a

b a c

Vektorsubstraktion

(7)

7

Vektoraddition

graphisch

Vektoren können in beliebiger

Reihenfolge zusammengesetzt werden

(8)

Vektoraddition

graphisch

Vektoren können in beliebiger Reihenfolge zusammengesetzt werden

a r

b r

b a r + r

b r

a b r r

+

a b

b

a r + r = r + r

Kommutativgesetz

a r

(9)

9

Vektoraddition

graphisch

a r b r

c r b

a r + r

( ) ^a ^r ⁺ ^b ^r ⁺ ^c ^r

a r b r

c r c

b r v +

( ) ^b ^c

a r + r + r

( ) ^a ^r ⁺ ^b ^r ⁺ ^c ^r ⁼ ^a ^r ⁺ ( ) ^b ^r ⁺ ^c ^r

Assoziativgesetz

(10)

Vektorsubstraktion

graphisch

A r B r

A r

B - r

A r

B - r

B - A C r r r

= B r

( ) ^- ^B

A B

- A

C r r v r v +

=

= A r

A

- r

(11)

11

Vektorkomponenten

analytisch

A r α

A

x

A

y

2 2

y x

A A

A

y x

+

=

+

= r

r r

r

α Acos A

_x

=

α Asin A

_x

=

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

= ⎛

x y

A tan

^-¹

A α

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

+

=

+

= +

=

+

= +

=

−

x 1 y

2 2

y y

y

x x

x

C tan C

C C

C

Bsin Asin

B A

C

Bcos Acos

B A

C

γ

β α

y x

A r α

C

x

C

y

A

x

B r

A

y

B

y

B

x

γ β

Betrag des Vektors

C r

analog

Vektorsubstraktion Betrag des Vektors A

x-Komponente

y-Komponente

(12)

Einheitsvektoren

x y

z

e r

x

e r

y

e r

z

Einheitsvektoren sind Vektoren die in eine bestimmte Richtung zeigen und die Länge EINS haben

Vektor setzt sich zusammen aus Längenangabe und Richtung

z y

x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

e z e

y e

x r

e b e

b e

b b

e a e

a e

a a

r r

r r r

r

+ +

=

+ +

=

+ +

=

( ¹ ^km ) ⁱⁿ ^Richtung ^West ³ ( ¹ ^km ) ⁱⁿ ^Richtung ^Nord

2 gerechnet aus

Zentrum vom

Ziel = ⋅ + ⋅

r r x

y 1

, 1 ,

1 = =

=

_y _z

x

e e

e r r r

(13)

13

Translation

( ) ( )

( ) ( ) ( )

z y

x

z y

x

z y

x z

y x

e z e

y e

x r

e z z

e y y

e x x

r

e z e

y e

x e

z e

y e

x r

r r

r

r r

r

r r

r

Δ + Δ

+ Δ

= Δ

− +

−

= Δ

+ +

− +

+

= Δ

−

= Δ

1 2

1 1

1 2

2 2

1 2

r r Δ

r r

2

r r

1

O

P

₁

P

₂

(14)

Geschwindigkeitsvektor

z y

x

z y

x avg

t e e z

t e y

t x

t

e z e

y e

x t r

r r

r r r r

Δ + Δ Δ

+ Δ Δ

= Δ

Δ

Δ + Δ

+

= Δ Δ

= Δ

avg avg

v v v

Mittlere Geschwindigkeit

Momentane Geschwindigkeit

( )

z y

x

z y

x

dt e e dz

dt e dy

dt dx

e z e

y e

dt x d dt r

d

r r

+ +

=

+ +

=

v v v

Die Richtung des Vektors der

momentanen Geschwindigkeit ist

die Tangente am Ort des Teilchens

(15)

15

Beschleunigungvektor

t a

_avg

t

Δ

= Δ Δ

= v r

₂

− v r

₁

v r r

Mittlere Beschleunigung

( )

z z

y y

x x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

dt a d

e a e

a e

a a

dt e e d

dt e d

dt a d

e e

dt e a d

dt a d

v ,

v

v v v

v v

=

+ +

=

+ +

=

+ +

=

r r

Momentane Beschleunigung

Die Richtung des Vektors der momentanen Beschleunigung zeigt nicht in Richtung der

Bahn, sondern die Richtung der

resultierenden Beschleunigung

(16)

Die Tour des Mistkäfers

Parastizopus armaticeps

Auch Ameisen können zählen - und zwar nicht nur bis drei. In einem Experiment stellte sich heraus, dass Wüstenameisen sich

anhand ihrer Schrittzahl orientieren. Forscher fanden das heraus, indem sie den Tieren die

Beine verlängerten oder kürzten. 20. Juni 2006

(17)

17

Unterschiedliche Sichtweisen

Situation „Auf dem Wagen“

Beobachter auf dem Wagen wirft Ball nur in die Höhe

Situation „Auf dem Erdboden“

Person außerhalb beobachtet, dass sich der Ball nicht nur nach oben,

sondern auch zur Seite bewegt

Wer hat recht?

...oder hat einer unrecht?

(18)

Superpositionsprinzip

0.0s 0.1s

0.2s

0.3s

0.4s

0.5s

v

_x

v

_y

Geschwindigkeits- Komponenten

Bewegungen endlang senkrechter Richtungen sind unabhängig voneinander

Schwerkraft wirkt nur entlang der vertikalen Achse

(19)

19

Skateboarder

Geschwindigkeitskomponente in Geradeausrichtung bleibt

erhalten!

(20)

Wie hoch fliegt ein Feuerwerkskörper?

Luftreibung wird hier vernachlässigt

x 0x

x

x 0

v v

v

=

+

= x t x

Horizontale Bewegung a

_x

=0

°

= Θ 75

m

= 125 x

v

x

v

y

v

0x

v

0y

Anwendung des Superpositionsprinzips

m/s 70

v r ₀ =

v r 0

(21)

21

Wie hoch fliegt ein Feuerwerkskörper?

Vertikale Bewegung des Körpers a

_y

=-g=-9.81 m/s²

2 0y

0 2

v t 1 gt y

y = + −

°

= Θ 75

m

= 125 x

gt t y

t y

y 2

v v 2

v

_y0 _y0

0 y

y0 0

− + +

+ = +

=

t y

y = ₀ + v _y

2 v v

_y

v

^y0

+

^y

mittlere

=

Geschwindigkeit

m/s 70

v r ₀ =

Ergebnis aus 1d-Kinematik

+ at

=

_y0

y

v

momentane Geschwindigkeit

Höhe der Flugbahn als Funktion der Zeit

(22)

Wie hoch fliegt ein Feuerwerkskörper?

Vertikale Bewegung a

_y

=-g=-9.81 m/s²

) (

2 v

v ² _y = _0y ² − g y − y ₀

°

= Θ 75

m

= 125 x

( )

y y0

0 y y0 0

v v

2 2 v v

+

= −

⇓ + +

=

y t y

t y

y

− gt

= _0y

y v

v

( )

y y0

0 y0

y

v v

v 2

v +

− −

= y y

g

( )( ) ( )

(

₀

)

2 y0 2

y

0 y

y0 y0

y

2 v

v

2 v

v v

v

y y g

−

=

−

= +

m/s −

70 v r ₀ =

Geschwindigkeit des Körpers als Funktion der Höhe

(23)

23

Wie hoch fliegt ein Feuerwerkskörper?

y g

gy

y y

g

2 v

0 ) (

2 v

v

2 0y 2 0y

0 2

0y 2

y

=

−

=

−

=

( ⁷⁰ ^m/s )( ^sin75 ) ⁶⁷ ^. ⁶ ^m/s

v _0y = ° =

Θ

= v sin v _0y ₀

( )

( ^9.81 ^m/s² ) ^232.9 ^m

2 m/s 67.6

2g

v ² _y0 ²

=

= y

Scheitelpunkt hängt nur von der vertikalen Komponente der Geschwindigkeit ab

Höchster Punkt der Flugbahn: v

_y

=0

m/s 70

v r ₀ =

m

= 125 x

v

0y

Θ = 75 °

Θ

v

0

(24)

Waagerechter Wurf

Horizontale Bewegung

t x

x

₀

v

_0x

Vertikale Bewegung

=

− v

_0x

= v

₀

cos Θ

( ^v ^cos ) ^t

x -

x

₀

=

₀

Θ ( ) ^²

2 sin 1

v y

-

y

₀

=

₀

Θ t − gt 2 ²

v 1 y

-

y

₀

=

_0y

t − gt v r

Θ

= v cos v

_0x ₀

Θ

= v sin v

_0y ₀

Θ

x

y

Analyse nach den Komponenten

des Geschwindigkeitsvektors

(25)

25

Care Paket

s 260 m v

_A₃₈₀

=

y

= − gt v

v

_A380

v

_A380

v

y

s 298 m v

s 147 m s -

260 m v

v v

v

2 2

2 y 2

x

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

+

=

Θ

h 530 km s

147 m v

s s 15 9.81 m 0

v

v v

y y 2

0 y

−

≈

−

=

−

=

−

= gt

Fallzeit 15 s

vertikale Geschwindigkeit

horizontale Geschwindigkeit

Aufschlaggeschwindigkeit

ohne Reibung

(26)

Wurfweite

gesucht: Gleichung unabhängig von Flugdauer Horizontale Bewegung

Vertikale Bewegung t

x

x −

₀

= v

_0x

v

_0x

= v

₀

cos Θ

( ^v ^cos ) ^t

x -

x

₀

=

₀

Θ

( ) ^²

2 sin 1

v y

-

y

₀

=

₀

Θ t − gt 2 ²

v 1 y

-

y

₀

=

_0y

t − gt

( )

( ^v ^cos ) ^²

2 tan 1

y

₂

0

g x

x − Θ

Θ

=

Zeit durch Ort und Geschwindigkeit ersetzen

= Θ

cos v

x - x

0

t

0

2

0

cos v

2 1 cos

y sin ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− Θ Θ

= Θ x

g x

0 0

ensystems Koordinant

des Wahl Freie

0 0

= ,y = x

Flughöhe als Funktion der x-Koordinate

2

0 0 0

0 0

0 2 v cos

1 cos

sin v v y -

y ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− Θ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ Θ Θ

= x-x

x-x g

suche zeitunabhängige Gleichung

0 0 v

v r ≡ ^v

^0x

⁼ ^v

⁰

^cos ^Θ

Θ

= v sin

v

_0y ₀

(27)

27

Wurfparabel

( ^tan ) ¹ ² ( ^v ^cos ) ^²

y

₂

0

g x

x − Θ

Θ

=

allgemeine Form der Gleichung

Abschusswinkel Θ konstant Gravitationsbeschleunigung g konstant Anfangsgeschwindigkeit v

₀konstant

y

2

f(x) = = ax − bx

Bahnkurve ist Parabel!

a b

( )

( ^v ^cos ) ^²

2 tan 1

y

₂

0

g x

x − Θ

Θ

=

(28)

Froschsprung

(29)

29

Maximale Weite

Bedingung für den Aufschlagort y(x

_max

)=0

( ^v ^cos ) ^t

x

_max

=

₀

Θ

( )

²

0

max 0

max

0

2 v cos

1 cos

sin v v

0 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− Θ Θ Θ

= x

x g

zeitunabhängige Gleichung erzeugen

= Θ

cos v

₀

max max

t x

(

₀

)

_max _max²

2 sin 1

v

0 = Θ t − gt

Θ

= Θ

Θ cos sin 2 sin

2 Θ Θ

= Θ ⇒

Θ

= Θ v 2 sin cos

cos v

2 1 cos

0 sin

2 0 2 max

2 0

max

x g g x

-

Trigonometrie

Θ Θ

= 2 v

²₀

sin cos

max

g

x Θ

= v

²₀

sin 2

max

g

x

maximal wenn

sin2Θ=1, d.h. Θ=45°

gilt nur, wenn

y(x=0)=y(x=x

_max

) Würfe mit einem Abschusswinkel von

45 Grad gehen stets am weistesten

(30)

Aristoteles:

a) gerade ansteigende Linie b) gekrümmtes Kurvenstück c) senkrechter Fall

Vorstellung gültig bis ins 16. Jahrhundert

Ursache der Bewegung

Eine lebendige Kraft (vis viva) treibt den Körper an, die dann erlischt, sodass der Körper in einer Kurve zu Boden fällt.

Rivius 1547

Paradigmenwechsel bei Galilei:

Annahme idealisierter Bedingungen, d.h.

Vernachlässigung des

Luftwiderstandes

(31)

31

Stroboskopaufnahme eines aufprallenden Balls

E.J. Marey Balle Balle rebondissante, étude de trajectoire (1886)

Zeit

Die Antwort auf diese Frage gibt erst die Thermodynamik (Entropie)

Warum kann man hier die Zeitrichtung nicht umdrehen?

(32)

Home Run

(33)

33

Home Run

(34)

Wurfweite

Vulkan Arenal Costa Rica

Letzter Ausbruch 1968

Der Arenal auf Costa Rica ist einer der weltweit aktivsten Vulkane. Regelmäßig fließt Lava an den Hängen zu Tal und immer wieder wirft er glühende Gesteinsbrocken mit bis zu 7,5 m Durchmesser 300 Meter in den Himmel.

(35)

35

Wurfweite

berechnet mit Vektoren

Anfangsbedingungen

Bewegung in der x-y Ebene

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟ =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟ =

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

0 0

, 0 v v 0)

(t v , 0 0 )

0 (

₀

0

g a

h t

r

_y

x

r

r r

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

− +

=

0 2 ² v 1

v )

(

₀

0

gt t

h

t t

r

_y

x

r

2 ² v 1

) (

v ) v (

) (

0

0 0

gt t

h t

y

t t x

t t

x

y

x x

− +

=

⇒

=

Einzelne Komponenten

v

_x0

v

_y0

x y

h

v r

2

0 0

0

2 v

1 v v

)

( ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

=

x x

y

g x h x

x

y ²

v 2 1 v

) v

(

₂

x0 0

0

g x

x h

x y

x

y

−

+

= Θ

Winkel taucht nicht mehr auf, da hier Behandlung mit den Vektorkomponenten

z

Wurfhöhe als Funktion der Entfernung vom Abschußort

0 ) ( t = z

nach t aufgelöst

(36)

Wurfweite

berechnet mit Vektoren

v

_x0

v

_y0

x y

h

v r v ²

2 1 v

) v

(

₂

x0 0

0

g x

x h

x y

x

y

−

+

=

0 ) ( t = dx y

d

das haben wir schon mal berechnet

Scheitelpunkt

charakterisiert durch

Θ

=

Θ

= Θ

=

⇒

−

=

2 2g sin

v

sin v cos v

v v v

v 0 v

2 0

0 0

0 0 2

x0 0

0

Scheitel Scheitel

y x Scheitel

Scheitel x

y

x x g

x g g x

Θ

g x x

dx y d

g x dx x d dx

h d dx x d

dx y d

x y

v 2 2 1 v

0 v ) ( 0

v ² 2 1 v

) v (

2 x0 0

0

2 x0 0

0

− +

=

− +

=

(37)

37

Wurfweite

berechnet mit Vektoren

v

_x0

v

_y0

x y

h

v r

v ² 2 1 v

) v

(

₂

x0 0

0

g x

x h

x y

x

y

−

+

=

Wurfweite

0 ) ( x = y

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ + + Θ

=

⎟ +

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

± ⎛

−

=

−

− +

=

2 2

s 2 0 max

2 x0 2

0 x0 0

0 max

2 x0 max

0 2 x0

max

2 2 max x0 0

0

gx sin v 1 2

1 v v 2

v g

v v

v 0 v 2

2v

v 2 1 v

0 v

x h x

g h x g

g x h

x g

g x x

h

s

y y

x

y x y

a

ac b

x b

c bx ax

2 4

²

−

− ±

=

⇓

= + + Θ

=

= sin 2

2g v v

v

²

0 0 0

x

_Scheitel ^x

g

^y

Scheitelpunkt

Θ

(38)

Let`s Jump at 66 mph

70

s 30 m 3600s

h km

1000m mile

1.609 km h

miles h 66

miles

66 = ⋅ =

15 m

!!! Fahrbahn ist flach !!!

0.5s s

30 m 15m v

_x

= =

= x

t ( ^0.5 ^s ) ^1.2 ^m

s² 9.81 m 2

² 1 2

1 = −

2

= −

−

= gt y

Resultat: Bus kracht in die Fahrbahn

(39)

39

Let`s Jump at 66 mph

Bus verlässt die Straße mit einem Winkel von 20°

(Ursache unbekannt)

°

= 20 α

Flugbahn annähernd parallel zur Fahrbahn (

nicht das, was wir gelernt haben)

Landung knapp hinter Baulücke

( ² ²⁰ ) ^59m

sin s² 9.81 m

s 30 m

2 v sin

2

max

2 0 max

=

°

⋅

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

=

Θ

=

x

x g

zu weit und damit zuviel des guten

°

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

Θ

⁻

4 . 7

sin v 2 1

2 0 1

x

_opt

g

Optimaler Winkel

(40)

Sportvergnügen auf dem Mond

Θ

= v

²₀

sin 2

max

g

Erde

x

Θ

= v

₀²

sin 2

max

g

Mond

1 x : 6 :

_Mond

≈

Erde

g

(41)

41

Newtons Gedankenspiel

Annahme bislang

x

_max

<< Erdradius

- maximale Weite wird stark vergrößert - Erde dreht sich unter dem Projektil weg - Vektor g ändert seine Richtung

- Orbit bei genügend hoher Geschwindigkeit -

unendliche

Fallszeit

Newtons Originalzeichnung

Es wird Zeit, dass wir uns auch um Kräfte kümmern

g r g r

g r

(42)

Kernig!

(43)

43

Kernig!

Abhängigkeit vom Winkel +/- 0.5°

( tan ) 2 ( v cos ) ^²

y(x)

₂

0

g x

x − Θ

Θ

=

Wurfhöhe

°

=

Θ 21 . 65 mit

fer Lattentref

16 m

2.44 m

m/s 20 v

indigkeit Ballgeschw

Typische

₀

=

2,00 2,08 2,16 2,24 2,32 2,40 2,48 2,56 2,64 2,72 2,80 2,88

14 15 16 17 18 19

Flugweite (m)

Flughöhe (m)

°

=

Θ 21 , 15

°

=

Θ 20 . 15

°

=

Θ 21 , 65

16 m

2.44 m

16 m

(44)

Kernig!

Abhängigkeit vom Winkel +/- 0.5°

( tan ) 2 ( v cos ) ^²

y(x)

₂

0

g x

x − Θ

Θ

=

Wurfhöhe

°

= Θ 20.65 mit

fer Lattentref

16 m

2.44 m

m/s 20 v indigkeit Ballgeschw

Typische ₀ =

2,00 2,08 2,16 2,24 2,32 2,40 2,48 2,56 2,64 2,72 2,80 2,88

14 15 16 17 18 19

Flugweite (m)

Flughöhe (m)

Torlatte

Ganz schön schwierig die Latte überhaupt zu treffen!

°

=

Θ 21 , 15

°

=

Θ 20 . 15

°

=

Θ 21 , 65

Fussball

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Kernig!

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Zusammenfassung

Eine physikalische Größe, bei der nur die Größenordnung (Betrag) wichtig ist wird durch einen Skalar beschrieben (Temperatur). Sie sind gekennzeichnet durch eine Zahl und eine Einheit, z:B. 22 °C.

Ein physikalische Größe, bei der sowohl die Größenordnung (Betrag) als auch die Richtung angegeben werden muss, wird durch einen Vektor beschrieben, z.B. 300 m Nordost.

Θ

=

Θ

=

sin v v

cos v v

y

Für Vektorengelten die Regeln x

der Vektoralgebra. Vektoren können addiert werden, indem man die Komponenten entlang der gewählten Achsen addiert.

Wurfbewegungen: Bewegungen von Körpern in der Nähe der Erdoberfläche können als zwei unabhängig voneinander ablaufende Bewegungenbeschrieben

werden (Superpositionsprinzip). Die horizontale Komponente entspricht einer konstanten Geschwindigkeit, während die vertikale Komponente gekennzeichnet

ist durch eine konstante Beschleunigung g, die durch die Gravitation verursacht wird. Bei der Analyse wird der Luftwiderstand vernachlässigt.

Einheitsvektoren haben die Länge 1 und zeigen in Richtung der positiven Achsen (x, y, z) eines rechtshändigen Koordinatensystems. Ein Vektor kann damit durch seine Vektorkomponenten und seine Skalarkomponenten beschrieben werden.