Zuerst misst man den Spin in x- Richtung und dann wieder in z-Richtung

L¨osung Klausur vom 12.2.2003 Die Literaturangaben stammen von Herr Rupp.

1.)a) Teilchen befinde sich im Zustand |+i. Zuerst misst man den Spin in x- Richtung und dann wieder in z-Richtung. Es gibt folgende vier M¨oglichkeiten.

|z : +i















1

2|x: +i (₁

2|z : +i

1

2|z :−i

1

2|x:−i (₁

2|z : +i

1

2|z :−i

Die Wahrscheinlichkeit betr¨agt also jeweils 1/4 f¨ur die vier m¨oglichen Messpaare:

(x: +, z : +),(x+ :, z :−),(x:−, z : +) und (x:−, z :−).

b) Allgemein gilt: R_y(φ) = exp(iφJ_y/~), mitJ_y =~/2σ_y. Man erh¨alt damit:

R(0)|+i = |+i R(2π)|+i = −|+i

R(π)|+i = e^iφ|−i c) Wir wissen: ¹₂ ⊗ ¹₂ = 1⊕0. Ausserdem gilt allgemein:

j1⊗j2 =

j₁+j2

M

j=|j1−j2|

j

Mit 1⊗ ¹₂ = ³₂ ⊕ ¹₂ und 0⊗ ¹₂ = ¹₂ folgt schliesslich:

1 2 ⊗ 1

2⊗ 1 2 = 3

2 ⊕1 2 ⊕ 1

2

Literatur: Sakurai 1: Kap 1.1 und 1.4; Weihnachtsblatt und ¨UB 5 - Aufgabe 15 2.)a) Zu zeigen:S² =S. Es gibtn! Permutationen:

S² = 1 n!

1 n!

X

π∈Sⁿ

X

π^′∈Sⁿ

PπPπ^′

| {z }

Pππ′

τ=ππ^′

= 1

n!

1 n!

X

π∈Sⁿ

X

τ∈Sⁿ

Pτ = 1 n!

1

n!n!X

τ∈Sⁿ

Pτ =S

b)Es istVS ⊂V^1/2⊗...⊗V^1/2. Ausserdem ist:

VS = Mn

k=1

V^jk

Es gilt also hier zu zeigen: n= 1. Betrachte den Zustand:

|+ + +...+ ++i : Jz|+ + +...+ ++i= n

2~|+ + +...+ ++i

Man weiss, dass−j ≤m≤j ⇒ j ≥ ⁿ₂. Betrachte j = ⁿ₂: dim= 2j+ 1 = n+ 1.

dimVs =?

Basis von VS:

S|+ + ++

| {z }

k

− −...− −

| {z }

n−k

i k = 0....n

=⇒dimVS = 2n+ 1 ⇔ j = n

2 ⇔ VS =V^n/2 Literatur: ¨UB 6 - Aufgabe17, ¨UB 7 - Aufgabe 19, ¨UB 8 - Aufgabe 23

3.)a) Es ist ∂_o = _∂t^∂. Aufl¨osen der Dirac-Gleichung iγ⁰∂0ψ +iγ^k∂_kψ −mψ = 0 f¨uhrt auf die zwei Gleichungen ((γ⁰)² = 1):

∂0ψ = −imγ⁰ψ−γ⁰γ^k∂kψ

∂0ψ^† = imψ¯−∂_kψγ¯ ^k Damit folgt dann:

d

dthx^ki= Z

d³x µ∂ψ^†

∂t x^kψ+ψ^†x^k∂ψ

∂t

¶

= Z

d³x¡

−∂mψ^†γ⁰γ^mx^kψ−ψ^†x^kγ⁰γ^m∂mψ¢

= Z

d³x¡

ψ^†γ⁰γ^m∂m(x^kψ)−ψ^†x^kγ⁰γ^m∂mψ¢

= Z

d³xψ^†γ⁰γ^mδ_m^kψ =hγ⁰γ^ki

b) Analog zur Vorlesung!

c)Zu zeigen ist hier: Ω^µ_νγ^ν = Λ⁻¹γ^µΛ. Wegen _x+1¹ = 1−x+O(x²) gilt:

Λ⁻¹ = 1−1

8ω^µν[γ_µ, γ_ν]

Damit folgt also, Terme der Ordnung ω² werden weggelassen:

Λ⁻¹γ^µΛ =γ^µ−1

8ω^ρσ[γρ, γσ]γ^µ+ 1

8ω^ρσγ^µ[γρ, γσ] =γ^µ+1

8ω^ρσ[γ^µ,[γρ, γσ]]

Berechne des letzten Kommutators unter Verwendung von{γ^µ, γ^ν}= 2η^µν [γ^µ,[γ^ρ, γ^σ]] =γ^µγ^ργ^σ −γ^µγ^σγ^ρ−γ^ργ^σγ^µ+γ^σγ^ργ^µ=

=γ^µγ^ργ^σ−γ^µγ^σγ^ρ+γ^ργ^µγ^σ −2η^µσγ^ρ−γ^σγ^µγ^ρ+ 2η^µργ^σ

=γ^µγ^ργ^σ−γ^µγ^σγ^ρ−γ^µγ^ργ^σ+ 2η^ρµγ^σ −2η^µσγ^ρ+γ^µγ^σγ^ρ−2η^µσγ^ρ−2η^µργ^σ

= 4η^µργ^σ −4η^µσγ^ρ Damit ergibt sich dann schließlich:

Λ⁻¹γ^µΛ =γ^µ+1

8ω^ρσ(4η^µ_σγσ −4η^µ_σγ^ρ) =γ^µ+ω^µ_νγ^ν = Ω^µ_νγ^ν

d) Es istj^′µ(x^′) = ¯ψ^′(x^′)γ^µψ^′(x^′). Mitψ^′(x^′) = Λψ(x) und ¯ψ^′(x^′) = ψ^†Λ^†γ⁰ folgt:

j^′µ(x^′) = ψ^†(x)Λ^†γ⁰γ^µΛψ(x)^Λ†γ

0=γ⁰Λ⁻¹

= ψ^†(x)γ⁰Λ⁻¹γ^µΛψ(x) = Ω^µ_νj^v(x)

4.) Die radiale Schr¨odingergleichung der S-Welle (l = 0) lautet:

µ d²

dr² +k²−γδ(r−R)

¶

u(r) = 0

Integriere diese Gleichung ¨uber das Intervall [R−ǫ, R+ǫ]:

Z R+ǫ R−ǫ

u^′′(r)dr+ Z R+ǫ

R−ǫ

k²u(r)dr = Z R+ǫ

R−ǫ

γδ(r−R)u(r)dr

Der zweite Therm ist nach Mittelwertsatz der Integralrechnung = 2ǫk²u(ξ) mit ξ∈[R−ǫ, R+ǫ] und geht f¨ur ǫ→0 gegen Null. Es ergibt sich somit:

u^′(R+)−u^′(R−) =γu(R) (ǫ→0)

Das f¨uhrt also auf die beiden Bedingungen (Stetigkeit und Sprung der Ableitung an der Steller=R):

Asin(kR) = Bsin(kR+δ) kBcos(kR+δ)−Acos(kR) = γAsin(kR) Ineinander einsetzen und Additionstheoreme ergegeben dann:

tanδ=−

γ

ksin²(kR) 1 + ^γ_ksin(kR) cos(kR)