x1. Vektoren
UnserRaumist3-dimensional.WirkennendreiHauptrichtungen:rechts-links,vorne-
hinten, oben-unten. Als Modellwahlen wir:
Ein Punkt O alsUrsprung
DreizueinandersenkrechteRichtungennachder rechtenHand-Regel:legtman
den Zeigengerinx-Richtungundden Mittelngeriny-Richtung,sozeigt der
Daumen in z-Richtung
Ein Langenmass injeder Richtung.
DieLageeinesPunktesP istdanndurch3Zahlenx;yundzbestimmt.DieseZahlen
sindreelleZahlen.Insbesonderekonnensiepositiv,negativodernullsein.Sieheissen
Koordinaten vonP.
SeiR die Menge der reellen Zahlen.Als Modelldes Raumeshaben wir somit
R 3
=
(x;y;z)jx;y;z2R
Eine wichtige Grosse ist der Abstand. Der Abstand zwischen O = (0;0;0) und P,
mitKoordinaten(x;y;z), ist
r=jOPj= p
x 2
+y 2
+z 2
Der Abstand zwischen A=(a
1
;a
2
;a
3
) und B =(b
1
;b
2
;b
3 ) ist
jABj = p
(b
1 a
1 )
2
+(b
2 a
2 )
2
+(b
3 a
3 )
2
:
Punkte sind eine erste Art von Objekten im Raum. Eine zweite wichtige Art sind
Vektoren,\Pfeile",odergerichteteStrecken.GegebenPunkteA;B inR 3
,betrachten
wir die gerichtete Strecke
!
AB (A = Anfangspunkt, B = Endpunkt). Sie hat eine
Lange oder Betrag
!
jABjund eine Richtung.
Wichtige Beispiele von Objekten welche einen Betrag und eine Richtung haben,
kommenaus der Physik:
Krafte K:
der Betrag gibt die Starke der Kraft
dieRichtung gibt dieRichtung in welcher dieKraft ausgeubt wird.
Geschwindigkeiten~v:
der Betrag ist dieGeschwindigkeit z.B. inms 1
.
dieRichtung ist diemomentane Richtung der Bewegung.
EsistzweckmassigzweigerichteteStrecken
!
AB und
!
CD alsgleich(oder
aquivalent)
zu betrachten, falls siegleich langund gleichsinnig parallelsind.
!
AB =
!
CD Def
()
jABj=jCDj
gleichsinnig parallel:
SeiA =(a
1
;a
2
;a
3
)und B =(b
1
;b
2
;b
3
).Die Koordinatendierenzen
b
1 a
1
; b
2 a
2
; b
3 a
3
nennen wir dieKomponentenvon
!
AB.WeildieKomponenten Koordinatendieren-
zen sind, gilt
!
AB =
!
CD()
!
AB und
!
CD haben die gleichenKomponenten.
Wir schreiben
!
AB = b
1 a
1
b
2 a
2
b
3 a
3
!
Wir haben j
!
ABj= p
(b
1 a
1 )
2
+(b
2 a
2 )
2
+(b
3 a
3 )
2
.SowohlPunkte wie Vek-
torenwerdenalsodurchTripelvonZahlencharakterisiert.EsgiltfolgendeZuordnung
PunktP =(x;y;z) 7! Ortsvektor
!
OP =~r
P
= x
y
z
!
Punkt C p Vektor
!
AB =~a
bestimmtdurch
!
OC =
!
AB:
Also hat einTripelvonZahlen verschiedene Interpretationen:
Punkt P
Ortsvektor ~r
P
=
!
OP
P
Je nachSituationwird eine dieser Interpretationen benutzt.
Operationen mit Vektoren:
Addition
Sei~a =
!
AB;
~
b =
!
CD. Wir denieren
~a+
~
b =
!
AS
wobeiS bestimmtwirddurch
!
CD=
!
BS,d.h.S istderEndpunktvon
~
b , wenn
~
b in B angeheftet wird. In Komponenten haben wir
~a= a
1
a
2
a
3
;
!
~
b= b
1
b
2
b
3
!
=) ~a+
~
b = a
1 +b
1
a
2 +b
2
a
3 +b
3
!
Regeln fur die Addition
(1) ~a+
~
b=
~
b+~a Kommutativitat
(2) (~a+
~
b)+~c=~a+(
~
b+~c) Assoziativitat
(3) es gibt einen \Nullvektor"
~
0 mit~a+
~
0=~a
(4) zu jedem~a gibt esden entgegengesetzten Vektor ~a, d.h.~a+( ~a )=
~
0.
Aus (2)folgt, dass beieiner beliebigenSumme
!
a
1 +
!
a
2
++
!
a
n
keine Klammern
notigsind.
Subtraktion: ~a
~
b:=~a+(
~
b )
wichtige Anwendung:
!
AB =
!
OB
!
OA=~r
B
~r
A .
Multiplikation mit einer Zahl
Sei~aeinVektorund einereelleZahl.DerVektor~ahatnachDenitiondieLange
j~aj=jjj~aj
und ist gleichgesinntwie~a falls>0, resp. entgegengesinnt falls<0.
Anwendung: Haben zwei Vektoren~a ;b (6=
~
0) dieselbe Richtung, so gibt es 6=0
so dass~a=
~
b .
Aus der Denition folgt,dass ~a= a
1
a
2
a
3
!
falls~a= a
1
a
2
a
3
!
Regeln:
0 ~a=
~
0; 1~a=~a; ( 1)~a = ~a
(~a+
~
b)=~a+
~
b; (+)~a =~a+~a
EinVektor~emitj~ej=1heisstEinheitsvektor.DieMengederPunkteP mitjOPj=1
ist dieEinheitssphare S 2
(S 1
istder Kreis mitRadius 1).
Ist ~a 6=
~
0, so hat ~e =
~a
j~aj
die Lange 1 und heisst die Normierung von ~a. Spezielle
Einheitsvektoren sind
~ e
1
= 1
0
0
!
in x Richtung
~ e
2
= 0
1
0
!
in y Richtung
~ e
3
= 0
0
1
!
in z Richtung
Jedes~a = a
1
a
2
a
3
!
lasst sichzerlegen als
~a=a
1
~e
1 +a
2
~e
2 +a
3
~ e
3
Der Vektor a
1
~e
1
istdieKomponente von~a inx-Richtung.
Anwendungen
(1) Der Schwerpunkt
Gegeben seien N Punktmassen m
1
;:::;m
N
in den Punkten A
1
;:::;A
N . Ge-
sucht ist der Schwerpunkt dieses Systems. Der Schwerpunkt S ist deniert
durchdie Momentenbedingung
m
1
!
SA
1 +m
2
!
SA
2
++m
N
!
SA
N
=
~
0
h
Abkurzung X
i=1 m
i
!
SA
i
=
~
0 i
Wegen
!
SA
i
=~a
i
~s mit~a
i
=
!
OA
i
und~s=
!
OS folgt
~
0= N
X
i=1 m
i (~a
i
~s)= N
X
i=1 m
i
~a
i
N
X
i=1 m
i
!
~s
somit
~s= N
X
i=1 m
i
~a
i
= N
X
i=1 m
i
In Komponenten, mitS =(x
S
;y
S
;z
S ); A
i
=(x
i
;y
i
;z
i ),,
x
S
= P
m
i x
i
P
m
i
; y
S
= P
m
i y
i
P
m
i
; z
S
= P
m
i z
i
P
m
i
Sind alleMassen gleich, sofolgt~s= 1
N P
~a
i .
(2) Parameterdarstellung einer Gerade
Eine Gerade g wird durch 2Punkte A;B;A6=B, bestimmt.SeiP einPunkt
imRaum. Wir haben
P 2g () esgibt t 2R mit
!
AP =t
!
AB
Der laufende Punkt vong hat somitden Ortsvektor
~r
P
=
!
OP =
!
OA+
!
AP =
!
OA+t
!
AB
= ~r
A +t(~r
B
~r
A ):
4!
Dieselbe Geradekann verschiedene Parameterdarstellungen haben.
Beispiel: Sei g die Gerade durch A =(1;2;1)und B =(2; 1; 2). Gesucht
ist der Schnittpunkt vong mitder (x;y)-Ebene.
Die Parameterdarstellung ist
x=1+t; y=2 3t; z =1 3t
Der Schnittpunkt Q ist gegeben durch die Bedingung z =0, so dass t = 1=3
und Q=(4=3;1;0).
Die Ebene E seidurch 3nicht-kollinearePunkte A;B;C gegeben. Die Ebene
E wird erzeugt von den Vektoren
!
AB und
!
AC,also
P 2E () 9 u;v 2R mit
!
AP =u
!
AB+v
!
AC
Der laufende Punkt vonE hat somit den Ortsvektor.
~r
p
=~r
A
+u(~r
B
~r
A
)+v(~r
C
~r
A
) ;u;v 2R
Wirhaben2Parameter:E istein\zweidimensionales" Gebilde.Entsprechend
ist eine Gerade\eindimensional".
x2. Das Skalarprodukt
WirgebeneinegeometrischeDenition(d.h.ohneKoordinaten)undeineanalytische
Denition (mit Koordinaten). Sind 2 Vektoren ~a;
~
b beide 6= 0, so ist der nichtori-
entierte Winkel ' = (~a;
~
b) wohldeniert. Das Skalarprodukt von ~a und
~
b ist die
Zahl
~a
~
b =j~ajj
~
bjcos' (geometrische Denition)
Wir haben
~a
~
b=0 , '=
2 (~a?
~
b); oder ~a=
~
0; oder
~
b=
~
0
~a
~
b>0 , ' istspitz
~a
~
b<0 , ' iststumpf :
Regeln:
~a
~
b =
~
b~a
(~a)
~
b = (~a
~
b)
~a(~x+~y) = ~a~x+~a~y
Beweis: Die erste Regel ist klar. Bei der zweiten muss man die Falle > 0 und
<0unterscheiden (benutze, dasscos ( ')= cos'). DiedritteRegel istweni-
ger evidentund wir geben einen Beweis. Wegender 2.Regel konnenwir annehmen,
gonalprojektionin die Richtung von~e.Bezeichnen wir diesen Vektor mit~x
~ e
, so gilt
(Figur!)
~ x
~e
= j~xjcos'
~
e ; '=(~x;~e):
Da j~ej=1, folgt ~x
~e
=(~x~e )~e.
Es ist klar (Figur!), dass (~x+~y)
~ e
=~x
~ e
+~y
~e
, d.h. dieProjektion der Summe istdie
Summe der Projektionen. Somit gilt
~e(~x+~y)
~
e =(~e~x )~e+(~e~y)~e=
(~e~x )+(~e~y)
~e
und die Behauptung~e(~x+~y)=~e~x+~e~y folgtdurchKoeÆzientenvergleich.
FurdieEinheitsvektoren~e
1
;~e
2
;~e
3 gilt
~e
1 ~e
1
=~e
2 ~e
2
=~e
3 ~e
3
=1 ~e
1 ~e
2
=~e
2 ~e
3
=~e
3 ~e
1
=0
Setzen wir Æ
ij :=
8
<
:
0; i6=j
\Kronecker-Delta"
1; i=j
so gilt
~ e
i ~e
j
=Æ
ij
i;j =1;2;3:
Fur beliebige Vektoren ~a = a
1
a
2
a
3
!
;
~
b = b
1
b
2
b
3
!
, folgt mitHilfe der obigen
Regeln, ~a= 3
X
i=1 a
i
~e
i
;
~
b= 3
X
j=1 b
j
~e
j
und
~a
~
b = 3
X
i=1 a
i
~e
i )(
3
X
j=1 b
j
~ e
j ) =
3
X
i;j=1 a
i b
j
~e
i ~e
j
= 3
X
i;j=1 a
i b
j Æ
ij
= 3
X
i=1 a
i b
i
= a
1 b
1 +a
2 b
2 +a
3 b
3 :
~a
~
b = a
1 b
1 +a
2 b
2 a
3 b
3
(analytische Denition)
Kleine Anwendung: gegeben ~a ;
~
b; gesucht '=^(~a;
~
b):
cos' =
~a
~
b
j~ajj
~
bj
=
a
1 b
1 +a
2 b
2 +a
3 b
3
p
a 2
1 +a
2
2 +a
2
3 p
b 2
1 +b
2
2 +b
2
3 :
Speziell:~a =
2
1
2
;
~
b = 2
2
0
, cos' =
4 2
p
9 p
8
= 1
p
2
; '= 3
4 :
Wichtige Anwendung
EineEbeneEkanndurcheinenormaleRichtungundeinenPunktAgegebenwerden
(Figur!). Sei die normaleRichtung durch einenVektor ~n (6=
~
0) bestimmt.Es gilt:
P 2E ()
!
AP ?~n
() ~n(
!
OP
!
OA)=0
() ~n
!
OP =n
!
OA
In Koordinaten:
n
1 x+n
2 y+n
3 z =n
1 a
1 +n
2 a
2 +n
3 a
3
Also bestimmt eine Ebene eine lineare Gleichung in x;y;z. Umgekehrt, jedesolche
GleichungbestimmteineEbene:Sein
1 x+n
2 y+n
3
z=ddieGleichung.Sei(a
1
;a
2
;a
3 )
irgendeine Losung,d.h. n
1 a
1 +n
2 a
2 +n
3 a
3
=d dann istdieEbene bestimmt durch
A=(a
1
;a
2
;a
3
) und ~n =(n
1
;n
2
;n
3 ).
Abstand Punkt-Ebene
Sei die Ebene E durch den Punkt A und die Normale ~n mit j~nj = 1 gegeben und
sei P ein Punkt im Raum. Sei D der Schnittpunkt mit E der Gerade durch P in
Richtung~n.Die Langej
!
PDjistderAbstandzwischen P undE.Wirhaben (Figur!)
!
PD=(
!
PA)
~ n
=(
!
PA~n )~n
und somit
d=j
!
PDj=j
!
PA~nj:
Ist ~n nichtnormiert, sogiltd= j
!
PA~nj
j~nj .
Ubung: Interpretiere das Vorzeichen von
!
PA~n.
Wir haben eine Ebene auf2 Arten dargestellt:
1. durcheine Parameterdarstellung
lung
x = a
1
+ub
1
+vc
1
y = a
2
+ub
2
+vc
2
z = a
3
+ub
3
+vc
3
konnen wir uund v eliminieren. Esbleibt eineGleichung inx;y undz. Umgekehrt,
gegebeneinelineareGleichungfurdieEbeneE,kannman3Punkte(nichtkollinear)
auf E ndenund eine entsprechende Parameterdarstellung aufstellen.
Physikalische Anwendungdes Skalarproduktes.DieArbeit einerkonstanten KraftK
langs einem Weg parallelzur Kraftistbekanntlich:
Arbeit = KraftWeg oder W =Kd
Ist die Richtung der Kraftnicht in Richtung des Weges und istder Weg geradlinig
vonAnachB sogiltW =K 1
jABj,wobeiK 1
dieKomponentevon
~
K inRichtung
des Weges ist. Also
W = j
~
K
~ e
jj
!
ABj
wobei~e=
!
AB
j
!
ABj . Da j
~
K
~e j=j
!
K ~ej folgt W =j
~
K
!
ABj. Will man das Vorzeichen
berucksichtigen (positive,resp. negative Arbeit) so setzt man
W =
~
K
!
AB
Beispiel: Segelbootim Wind! (Figur!)
x3. Das Vektorprodukt
Das Vektorprodukt ~a
~
b ist einVektor. Eswird wie folgtdeniert:
Sind~a und
~
b parallel,oder~a =
~
0, resp.
~
b=
~
0,so ist~a
~
b=
~
0.
Sind~a und
~
b nichtparallel, so
- j~a
~
bj = j~ajj
~
bjsin'; '=(~a;
~
b )
- ~a
~
b steht senkrecht auf~a und auf
~
b
- ~a;b ;~a b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (rechte Hand-
Regel!)
Folgerungen:
~a
~
b=
~
0()~a und
~
b sind linear abhangig(d.h. esgibt, , 2R nichtbeide
=0mit ~a+
~
b =
~
0.
j~a
~
b jistderFlacheninhaltF desvon~aund
~
baufgespannten Parallelogramms.
F = Basis Hohe = j~aj(j
~
bjsin')
~a
~
b =
~
b~a ; ~a~a =
~
0
~e
1 ~e
2
=~e
3
~e
i ~e
i+1
=~e
i+2
(Index modulo3)
~a
~
b =(~a
~
b)
Der Beweis dieser Regeln folgt ziemlich unmittelbar aus der Denition. Die
nachste Regel
~a(~x+~y)=~a~x+~a~y
istweniger evident.Zum Beweisdurfen wir annehmen, dass~a6=
~
0 und, durch
Normierung, dass~a =~e ein Einheitsvektor ist.Sei E dieEbene senkrecht zu
~e durch O und sei D die Drehung um die Achse ~e um
2
. Sei weiter P die
Orthogonalprojektionauf E (Figur!).
Es gilt
D(~x+~y) = D(~x)+D(~y)
P(~x+~y) = P(~x)+P(~y)
jP(~x)j = j~xjsin'; '=(~x;~e)
= j~xjj~ejsin'=j~e~xj
Behauptung: D P(~x)
=~e~x.
Beweis: jD P(~x)
j=jP(~x)j=j~e~xj. Also sind dieLangen gleich.
Die Richtung stimmt auch (rechteHand-Regel!).
Es folgtnun
~e(~x+~y) = D P(~x+~y)
=D P(~x)+P(~y)
= D P(~x)
+D P(~y)
=~e~x+~e~y :
Wir konnen jetztdas Vektorprodukt mitKoordinaten berechnen: Sei
~a= 3
X
i=1 a
i
~e
i
~
b= 3
X
j=1 b
j
~e
j
. Es folgt
~a
~
b = 3
X
i=1 a
i
~e
i
3
X
j=1 b
j
~ e
j
= 3
X
i;j=1 a
i b
j (~e
i ~e
j )
= a
2 b
3 a
3 b
2
~e
1 + a
3 b
1 a
1 b
3
~e
2 + a
1 b
2 a
2 b
1
~ e
3
~a
~
b= a
2 b
3 a
3 b
2
; a
3 b
1 a
1 b
3
; a
1 b
2 a
2 b
1
Die KoeÆzienten sind 2-reihigeDeterminanten.Man schreibt sieauch als
a
2 b
3 a
3 b
2
=:
a
2 b
2
a
3 b
3
;:::
Anwendungen:
Flache eines Dreiecks im Raum. Seidas Dreieck durchdie Ecken A;B und C
gegeben. Esgilt
F = 1
2 j
!
AB
!
ACj
Schnitt von 2 Ebenen. Der Schnitt ist eine Gerade. Wir suchen eine Parame-
terdarstellungdieser Gerade.
E
1 :n
1 x+n
2 y+n
3 z =d
1
E
2 :m
1 x+m
2 y+m
3 z =d
2
E
1
ist senkrecht zu ~n = n
1
n
2
n
3
!
. E
2
ist senkrecht zu m~ = m
1
m
2
m
3
!
, somit
ist dieSchnittgerade parallel zu ~nm.~ (Figur!) Wir brauchen noch
einen Punkt A um die Gerade festzulegen. Die Koordinaten a
1
;a
2
;a
3
von A
sind Losung der zwei GleichungenfurE
1
und E
2 .
Abstand Punkt - Gerade.Eine Gerade g seidurchzwei Punkte A;B gegeben.
GesuchtistderAbstandeinesPunktesP zurGeradeg.Manbetrachtedasvon
denVektoren
!
ABund
!
AP aufgespannteParallelogramm.SeineHohebezuglich
derBasisjABjistdieDistanzdvonP zu g.AlsobekommenwirfurdieFlache
F:
F =j
!
ABjd=j
!
AP
!
ABj
so dass d= j
!
AP
!
ABj
j
!
ABj
= j
!
AP ~ej falls ~e=
!
AB
j
!
ABj :
Vektordarstellung einer Drehung. Ein Korper dreht sich mit der Winkelge-
schwindigkeit w > 0 um die Achse g durch O. Sei~e der durch die Korkzie-
herregel bestimmte Einheitsvektor auf g (Figur!). Der Vektor w~ =w~e
heisst Winkelgeschwindigkeitsvektor. Sei ~v der Geschwindigkeitsvektor eines
Masseteilchen an der Stelle P und seiv =j~vj. Esgilt
j~vj=wd ; d Abstand zwischen g und P
somit j~vj = wj~e~r
P
j = jw~ ~r
P
j. Weiter gilt~v ? ~e ; ~v ? ~r
P
und das Tripel
~ w;~r
P
;~v ist einRechtssystem. (Figur!) Es ergibt sich
~v = w~ ~r
P .
Gleichung einer Ebene. Ist die Ebene E durch 3 Punkte (A;B;C) gegeben,
so ist~n =
!
AB
!
AC senkrecht zu E.Somit istdie Gleichung
!
AB
!
AC
~r
P
=
!
AB
!
AC
~r
A
eine Gleichung furE.
x4. Das gemischte Produkt (oder Spatprodukt)
Gegeben drei Vektoren ~a;
~
b;~c, sie spannen ein Parallelepiped auf mit Volumen V.
Wir denieren
~a ;
~
b; ~c
= 8
>
<
>
:
0 falls V =0(~a ;
~
b;~c sind komplanar)
V falls ~a ;
~
b;~c ein Rechtssystem bilden
V falls ~a ;
~
b;~c ein Linkssystem bilden
Aus der Denition folgtsofort
[~a;
~
b;~c] = [
~
b;~c;~a]=[~c;~a;
~
b]
= [
~
b;~a;~c]= [~a;~c;
~
b]= [~c;
~
b;~a]
Parallelogrammaufgespanntvon~a und
~
b , sogilt
V =j~a
~
bjh
Eine Normale zur Ebene aufgespannt von ~a und
~
b ist der Vektor ~a
~
b. Sei ' der
Winkelzwischen~a
~
b und ~c. Danngilt h=j~cjjcos'j, also
V = j~a
~
b jj~cjcos' = j(~a
~
b)~cj
~a;
~
b;~c istein Rechtssystem genau wenn ' spitz ist,d.h. cos'>0 und einLinkssy-
stem genau dann wenn ' stumpf ist,d.h. cos'<0.Es folgt [~a;
~
b;~c] = (~a
~
b)~c
Folgerung: Da [~a ;
~
b;~c] = [
~
b ;~c;~a] gilt,
(~a
~
b)~c = (
~
b~c)~a
In Koordinaten ist mit~a= a
1
a
2
a
3
!
;
~
b= b
1
b
2
b
3
!
; ~c= c
1
c
2
c
3
!!
[~a;
~
b ; ~c] = a
1
b
2 c
2
b
3 c
3
+ a
2
b
3 c
3
b
1 c
1
+a
3
b
1 c
1
b
2 c
2
= a
1
b
2 c
2
b
3 c
3
a
2
b
1 c
1
b
3 c
3
+a
3
b
1 c
1
b
2 c
3
=:
a
1 b
1 c
1
a
2 b
2 c
2
a
3 b
3 c
3
\3-reihige" Determinante
Anwendungen:
Volumen eines von 4 Punkten (A;B;C;D) aufgespannten Tetraeders T. Das
Parallelepipedaufgespannt vonden 3 Vektoren
!
AB;
!
AC;
!
AD enthalt 6 Tetra-
eder mitVolumenT. Somit
V = 1
6 [
!
AB;
!
AC;
!
AD]:
auf g und Q auf h so, dass j
!
PQj der gewunschte Abstand d ist. Der Vektor
!
PQ istsenkrecht zu g und h. Sei
~ n =
!
AB
!
CD
j
!
AB
!
CDj
und damit
!
PQ = (
!
AC)
~n
. Esfolgt
d = j(~r
C
~r
A
)~nj =
(~r
C
~r
A )
!
AB
!
CD
j
!
AB
!
CDj
!
= [~r
C
~r
A
;
!
AB;
!
CD]
j
!
AB
!
CDj
Losung eines Systems von 3 linearen Gleichungen. Das System
a
1 x
1 +b
1 x
2 +c
1 x
3
= d
1
a
2 x
1 +b
2 x
2 +c
2 x
3
= d
2
a
3 x
1 +b
3 x
2 +c
3 x
3
= d
3
furdieUnbekannten x
1
;x
2
;x
3
kann verktoriell geschrieben werden:
x
1
~a+x
2
~
b+x
3
~c =
~
d j
~
b
x
1 (~a
~
b)+x
3 (~c
~
b) =
~
d
~
b j~c
x
1 [~a;
~
b;~c] = [
~
d;
~
b;~c]
x
1
= [
~
d;
~
b;~c]
[~a;
~
b;~c] :
Es folgtanalog:
x
2
= [~a;
~
d;~c]
[~a;
~
b;~c] x
3
= [~a;
~
b;
~
d]
[~a;
~
b;~c]
Als unmittelbareFolgerung haben wir dieIdentitat
[
~
d;
~
b;~c]~a+[~a;
~
d;~c]
~
b+[~a;
~
b;
~
d]~c=[~a;
~
b;~c]
~
d :
kannten verallgemeinern.
x5. Mehrfache Produkte
Wir haben bisjetzt 3 Produkte deniert
das Sklarprodukt~a
~
b
das Vektorprodukt~a
~
b
das gemischteProdukt (~a
~
b)~c=[~a;
~
b ;~c].
Es gibt weitere Kombinationen:z.B.
~a(
~
b~c); (~a
~
b )(~c
~
d); (~a
~
b )(~c
~
d):::
Eine Formel fur ~a(
~
b~c): Zuerst muss man merken, dass (imallgemeinen)
(~a
~
b)~c6=~a(
~
b~c)
d.h. das Vektorprodukt ist nicht assoziativ.Es giltz.B.
~e
1 (~e
1 ~e
2
) = ~e
1 ~e
3
= ~e
2
(~e
1 ~e
1 )~e
2
=
~
0~e
2
=
~
0:
Man hat dieGrassmannsche Identitat:
(1) (~a
~
b)~c=(~a~c)
~
b (
~
b~c)~a
(2) ~a(
~
b~c) =(~a~c)
~
b (~a
~
b )~c.
Wirbeweisen nurdieerste. Ein(langer)BeweisistmitKoordinatenlinksund
rechtszurechnen.EingeschickterBeweisistdieKoordinatenanzupassen:Wir
wahlen:
- ~e
1
inRichtung von~a.
- ~e
2
so,dass
~
b inder Ebene liegt, welche von~e
1 und~e
2
erzeugt und
- ~e
3
=~e
1 ~e
2 .
Dann haben wir ~a= a
1
0
0
!
~
b= b
1
b
2
0
!
~c= c
1
c
2
c
3
!
Es folgt: ~a
~
b= 0
0
a
1 b
2
!
(~a
~
b )~c= a
1 b
2 c
2
a
1 b
2 c
1
0
!
und (~a~c)
~
b (
~
b~c)~a = a
1 c
1 b
1
a
1 c
1 b
2
0
(b
1 c
1 +b
2 c
2 )a
1
0
0
= a
1 b
2 c
2
a
1 b
2 c
1
0
Als Folgerungbekommen wir dieJacobische Identitat
(~a
~
b )~c+(
~
b~c)~a+(~c~a)
~
b=
~
0
Beweis: (~a~c)
~
b (
~
b~c)~a+(
~
b~a)~c (~c~a )
~
b+(~c
~
b )~a (~a
~
b)~c=
~
0.
Bemerkung: EinVektorraumV mit Produkt \?" so, dass
(1) a?b= b?a
(2) (a?b)?c+(b?c)?a+(c?a)?b=0
heisst Lie-Algebra.
Behauptung:
(~a
~
b)(~c
~
d) = (~a~c)(
~
b
~
d) (~a
~
d)(
~
b~c) (Lagrange)
=
~a~c
~
b~c
~a
~
d
~
b
~
d
Beweis:
(~a
~
b)(~c
~
d) = [~a;
~
b;~c
~
d]=[
~
b ;~c
~
d;~a]
= ~a
~
b(~c
~
d)
= ~a
(
~
b
~
d)~c (
~
b~c)
~
d
= (~a~c)(
~
b
~
d) (~a
~
d)(
~
b~c):
Spezialfall: j~a
~
b j 2
= j~aj 2
j
~
bj 2
(~a
~
b ) 2
.
Bemerkung: In R n
haben wir das Skalarprodukt~a
~
b=(a
1 b
1
++a
n b
n
) unddie
Normj~aj = p
~a~a. Ein Vektorprodukt inR n
mitj~a
~
bj 2
=j~aj 2
j
~
bj 2
(~a
~
b) 2
gibt
es nurfurn =3 und n =7!
Behauptung:
(~a
~
b )(~c
~
d) = [~a;
~
b ;
~
d]~c [~a;
~
b;~c]
~
d
= [~a;~c;
~
d]
~
b [
~
b;~c;
~
d]~a:
Beweis: Sei ~u=~a
~
b . Dann
~
u(~c
~
d)=(~u
~
d)~c (~u~c)
~
d=[~a;
~
b;
~
d]~c [~a;
~
b;~c]
~
d
Spezialfall: (
~
b~c)(~c~a)=[~a;
~
b;~c]~c.
