Die Biegelinie wird beschrieben durch die Verschiebung v in y-Richtung und die Verschiebung w in z-Richtung.

(1)

Die Biegemomente führen zu einer Verformung der Bal- kenachse, die als Biegelinie bezeichnet wird.

●

Die Biegelinie wird beschrieben durch die Verschiebung v in y-Richtung und die Verschiebung w in z-Richtung.

x y

z

w v

(2)

Ebene Biegung:

– Für M_z = 0 und I_yz = 0 verformt sich der Balken nur in der xz- Ebene.

– Die Biegelinie wird durch die Verschiebung w beschrieben.

Die Verschiebung v ist null.

– Dieser Spezialfall wird als ebene Biegung bezeichnet.

●

Räumliche Biegung:

– Für M_z ≠ 0 oder I_yz ≠ 0 treten Verschiebungen v und w auf.

– Dieser allgemeine Fall wird meist als schiefe Biegung bezeichnet.

(3)

3.1 Ebene Biegung

3.2 Räumliche Biegung

(4)

Kinematische Annahmen:

– Es wird angenommen, dass die Scherung vernachlässigt werden darf. Dann treten keine Winkeländerungen auf.

– Daraus folgt unmittelbar die Bernoulli-Hypothese:

● Ebene Querschnitte bleiben eben.

● Querschnitte senkrecht zur Balkenachse sind am verformten Balken senkrecht zur Biegelinie.

– Diese Annahmen sind bei schlanken Balken zulässig.

– Bei querkraftfreier Biegung sind die Annahmen exakt erfüllt.

(5)

Differenzialgleichung der Biegelinie:

– Einsetzen von

in

ergibt:

ϕ

ϕ x

z, w

ϕ≈tan(ϕ)=− dw dx u(x , z)=ϕ (x)z

0=γ_xz= ∂u

∂ z + ∂w

∂ x

ϕ(x)+ dw

dx (x)=0

→ dw

dx (x)=−ϕ (x)

(6)

– Mit

folgt:

– Daraus kann die Glei-

chung w(x) der Biegelinie durch zweimalige Integra- tion ermittelt werden.

– Die Integrationskonstan- ten werden durch die

Randbedingungen festgelegt.

d ϕ

dx = M _y E I_y

d²w

dx² =− M _y E I _y

(7)

Weitere Differenzialbeziehungen:

– Weiteres Ableiten der Differenzialgleichung der Biegelinie ergibt:

– Bei konstanter Biegesteifigkeit EI_y gilt:

d

dx

(

^{E I}^y ^ddx²^w²

)

⁼⁻ ^dM^dx^y ⁼⁻^Q^z ^, dx^d²²

(

^{E I} ^y ^ddx²^w²

)

⁼⁻ ^dQ^dx^z ⁼^q^z

E I _y d²w

dx² =−M _y , E I_y d³w

dx³ =−Q_z , E I_y d⁴w

dx⁴ =q_z

(8)

M_y = 0, Q_z = 0 w = 0, M_y = 0

ϕ = 0, Q_z = 0

Randbedingungen:

– Die bei den Integrationen auftretenden Integrati-

onskonstanten werden durch die Randbedingun- gen festgelegt.

– Feste Einspannung:

– Gelenk:

– Parallelführung:

– Freies Ende:

w = 0, ϕ = 0

(9)

– Die Randbedingungen für w und ϕ werden als geometrische Randbedingungen bezeichnet.

– Die Randbedingungen für M_y und Q_z werden als statische Randbedingungen bezeichnet.

– Wenn die Biegelinie durch zweifache Integration des Bie- gemoments gewonnen wird, müssen nur noch die geome- trischen Randbedingungen erfüllt werden. Die statischen Randbedingungen sind bereits infolge der Gleichgewichts- bedingungen erfüllt, die zur Ermittlung des Biegemoments benutzt wurden.

(10)

●

Beispiel: Kragbalken mit Endlast

– Gegeben:

● Kraft F, Länge L, Biegesteifigkeit EI_y

– Gesucht:

● Biegelinie w(x), Durchbiegung w_B im Punkt B

L

x

z A

E I_y F

B

(11)

– Biegemoment: (rechter Teilbalken)

– Integrationen:

M _y=−F (L−x)=−F L+F x

E I_y d²w

dx² =−M _y=F L−F x E I_y dw

dx =F L x− 1

2 F x²+c₁ E I_yw=1

2 F L x²− 1

6 F x³+c₁ x+c₂

– Randbedingungen:

dw

dx (0)=0 → c₁=0 w(0)=0 → c₂=0

(12)

– Ergebnis:

w(x)= F L³

6E I_y

[

³

⁽

^L^x

⁾

²⁻

⁽

^L^x

⁾

³

]

^{, w}^B⁼^w⁽^L⁾⁼³^{F L}^{E I}³^y

(13)

Beispiel: Balken mit Streckenlast

– Gegeben:

● Streckenlast q₀, Länge L, Biegesteifigkeit E I_y

– Gesucht:

● Biegelinie w(x), Durchbiegung w_m in der Mitte des Balkens

x

z

A E I_y B

q₀

L

(14)

– Integrationen: E I_y d⁴w

dx⁴ =q₀ E I_y d³w

dx³ =q₀ x+c₁=−Q_z E I_y d²w

dx² =1

2 q₀ x²+c₁ x+c₂=−M _y E I_y dw

dx = 1

6 q₀ x³+ 1

2 c₁ x²+c₂ x+c₃ E I_yw= 1

24 q₀ x⁴+ 1

6 c₁ x³+ 1

2 c₂ x²+c₃x+c₄

(15)

– Ergebnis:

M _y(0)=0 → c₂=0 , w(0)=0 → c₄=0 M _y(L)=0 : 1

2 q₀ L²+c₁L=0 → c₁=− 1

2 q₀ L w(L)=0 : 1

24 q₀ L⁴− 1

12 q₀ L⁴+c₃ L=0 → c₃= 1

24 q₀ L³

w(x)= q₀ L⁴

– Gegeben:

● Kraft F, Abmessung a, Biegesteifigkeit EI_y

– Gesucht:

● Biegelinie w(x), Durchbiegung w(a) am Kraftangriffspunkt

a 2a

z

x F

EI_y

A B

(18)

a) Lösung durch abschnittsweise Betrachtung:

– Lagerkräfte:

a 2a

z

x F

E I_y

A B

A_z B_z

∑

^M ^B⁼⁰ ^: ⁻³ ^{a A}^z⁺² ^{a F}⁼⁰ ^→ ^A^z⁼²₃ ^F

∑

^M ^A⁼⁰ ^: ³^{a B}^z⁻^{a F}⁼⁰ ^→ ^B^z⁼¹₃ ^F

(19)

– Abschnitt 1: 0 < x < a ^– Abschnitt 2: a < x < 3a

M _y=−(⁻^Az x)⁼ ²₃ ^{F x} ^M _y⁼^B_z⁽³^a⁻^x⁾⁼^{F a}⁻¹₃ ^{F x}

E I _y dw

dx =−F

3 x²+c₁ E I _y dw

dx =−F a x+ 1

6 F x²+d₁ E I _yw=− F

9 x³+c₁ x+c₂ E I _yw=− 1

2 F a x²+ 1

18 F x³ +d₁ x+d₂

E I _y d²w

dx² =−M _y=−2

3 F x E I _y d²w

dx² =−M _y=−F a+ F 3 x

(20)

– Anschlussbedingungen:

w(0)=0 → c₂=0

w(3a)=0 :

(

⁻⁹2 + 27

18

)

^{F a}³⁺³^d¹^a⁺^d²⁼⁰

→ 3d₁a+d₂=3 a³F (1)

dw

dx (a−0)=dw

dx (a+0) : −1

3 F a²+c₁=

(

⁻¹⁺ ¹6

)

^{F a}²⁺^d¹

→ F

2 a²=d₁−c₁ (2)

(21)

w(a−0)=w(a+0) : − F

9 a³+c₁a=

(

⁻ ¹2 + 1

18

)

^{F a}³⁺^d¹^a⁺^d² ⁽³⁾

(3) → 1

3 F a³=(^d1−c₁)^a⁺^d2=⁽²⁾ 1

2 F a³+d₂→ d₂=−1

6 F a³ (1) → 3 d₁a=3a³ F−d₂=19

6 a³ F → d₁=19

18 F a² (2) → c₁=d₁−1

2 F a² → c₁= 5

9 F a²

(22)

– Biegelinie:

0<x<a : E I_yw=− 1

9 F x³+ 5

9 F a² x → w (x)= F a³

9E I_y

[

⁵ ^a^x⁻

⁽

^a^x

⁾

³

]

a<x<3a : E I_yw=− 1

2 F a x²+ 1

18 F x³+ 19

18 F a² x− 1

6 F a³

→ w(x)= F a³

18 E I_y

[ ⁽

^a^x

⁾

³⁻⁹

⁽

^a^x

⁾

²⁺¹⁹ ^a^x ⁻³

]

w(a)= F a³

9 E I_y ⁽5−1)= 4 9

F a³ E I_y

(23)

b) Lösung mit Föppl-Symbol:

– Biegemoment:

a 2a

z

x F

E I_y

A B

A_z B_z

M _y(x)=−

(

⁻^Az x+⟨ ^x−a⟩ ^F

)

⁼ ^F₃ ⁽² ^x⁻³^⟨ ^x⁻^a^{⟩ )}

(24)

– Weitere Integrationen:

E I _y d²w

dx² =−M _y(x)=−F

3 (² ^x−3⟨ ^x−a⟩ ) E I _y dw

dx =−F

3

(

^x²⁻ ³2 ⟨ ^x−a⟩²+c₁

)

E I _yw=− F

3

(

^x3³− 1

2 ⟨ x−a⟩³+c₁ x+c₂

)

w(0)=0 → c₂=0

w(3a)=0 : 9a³−4a³+3c₁a=0 → c₁=− 5 3 a²

(25)

– Biegelinie: ^w⁽^x⁾⁼ ^{F a}

3

18 E I_y

[

¹⁰ ^a^x ⁻²

⁽

^a^x

⁾

³⁺³

^⟨

^a^x ⁻¹

^⟩

³

]

(26)

Beispiel: Superposition

– Gegeben:

● Kraft F, Streckenlast q₀, Abmessung a, Biegesteifigkeit EI_y

– Gesucht:

● Biegelinie w(x), Durchbiegung w(a) am Kraftangriffspunkt

a 2a

z

x F

EI_y A

q₀ B

(27)

– Die Lösung kann durch Überlagerung der beiden bereits ermittelten Biegelinien gewonnen werden.

^a^x

⁾

³⁺²⁷ ^a^x

]

w₁(a)= q₀a⁴

24E I_y ⁽1−6+27)= 11 12

q₀ a⁴ E I _y

w₂(x)= F a³

18E I_y

[

¹⁰ ^a^x ⁻²

⁽

^a^x

⁾

³⁺³

^⟨

^a^x ⁻¹

^⟩

³

]

^{, w}²⁽^a⁾⁼⁴⁹ ^{F a}^{E I}^y³

(28)

– Gesamt:

– Für eine Reihe von Lagerungen und Belastungen sind die Biegelinien tabelliert.

– Damit können die Biegelinien für überlagerte Belastungen leicht ermittelt werden.

w(x)=w₁(x)+w₂(x) w(a)=11

12

q₀ a⁴

E I_y + 4 9

F a³

E I _y= a³(³³ ^q0 a+16 F ) 36 E I_y

(29)

Beispiel: Statisch unbestimmt gelagerter Balken

– Gegeben:

● Streckenlast q₀, Länge L, Biegesteifigkeit EI_y

– Gesucht:

● Schnittlasten, Lagerreaktionen und Biegelinie

z

x E I_y

A B

q₀

L

(30)

– Lösung durch Integration der Streckenlast:

E I _y d⁴w

dx⁴ =q_z(x)=q₀ x L E I _y d³w

dx³ = q₀ x²

2 L +c₁=−Q_z(x) E I _y d²w

dx² = q₀ x³

6 L +c₁x+c₂=−M _y(x) E I _y dw

dx = q₀ x⁴

24 L + 1

2 c₁ x²+c₂ x+c₃ E I _yw= q₀ x⁵

120 L + 1

6 c₁x³+ 1

2 c₂ x²+c₃ x+c₄

(31)

dw

dx (0)=0 → c₃=0, w(0)=0 → c₄=0 dw

dx (L)=0 : q₀ L³

24 + 1

2 c₁ L²+c₂L=0 → 12 c₁ L+24c₂=−q₀ L² w(L)=0 : q₀ L⁴

120 + 1

6 c₁L³+ 1

2 c₂ L²=0 → 20c₁L+60c₂=−q₀ L²

→ c₁=− 3

20 q₀ L , c₂= 1

30 q₀L²

(32)

– Schnittlasten:

– Lagerreaktionen:

Q_z(x)=q₀ L

20

[

³⁻¹⁰

⁽

^L^x

⁾

²

]

^{, M}^y⁽^x⁾⁼ ^q⁶⁰⁰ ^L²

[

⁹ ^L^x ⁻¹⁰

⁽

^L^x

⁾

³⁻²

]

z

x B

q₀

L

A_z A B_z

M_A

M_B

(33)

– Biegelinie:

A_z=Q_z(0)=20 q₀L , B_z=−Q_z(L)=20 q₀ L M _A=−M _y(0)= 1

30 q₀ L² , M_B=−M _y(L)= 1

20 q₀ L²

w(x)= q₀ L⁴

Im allgemeinen Fall erfolgt die Belastung nicht in einer Ebene oder das Deviationsmoment verschwindet nicht.

●

Dann treten Verschiebungen in y- und z-Richtung auf.

●

Die Biegelinie wird durch die Verschiebungen v(x) in y-

Richtung und w(x) in z-Richtung beschrieben.

(36)

Differenzialgleichungen der Biegelinie:

– Nach der Bernoulli-Hypothese gilt:

– Vernachlässigung der Scherungen ergibt:

– Der Zusammenhang zwischen den Biegewinkeln ϕ und ψ und den Biegemomenten wurde bereits bei der Span-

nungsermittlung gefunden.

u(x , y , z)=ϕ(x)z−ψ(x)y

γ_xz=∂u

∂ z + ∂w

∂ x =ϕ(x)+ dw

dx (x)=0 → ϕ (x)=−dw

dx (x) γ_xy= ∂u

∂ y + ∂v

∂ x =−ψ(x)+ dv

dx (x)=0 → ψ(x)= dv

dx (x)

(37)

– Mit

folgt:

E d ϕ

dx = I_z M _y−I_yz M _z I_y I_z−I_yz² E d ψ

dx = I_yM _z−I_yz M _y I_y I_z−I_yz²

E I _y d²w

dx² =− I_y I_z M _y−I_y I_yz M _z I_y I _z−I_yz²

E I _z d²v

dx² = I_y I_z M _z−I_z I_yz M _y I_y I_z−I²_yz

– Mit den Ersatzmomenten

gilt:

M¯ _y= M _y−M _z I_yz/I_z 1−I²_yz/(I_y I_z) M¯ _z= M _z−M_y I_yz/I_y

1−I_yz² /(I_y I_z)

E I_y d²w

dx² =− ¯M _y E I_z d²v

dx² = ¯M _z

(38)

Beispiel: Kragbalken mit Endlast

– Gegeben:

● F = 100 N, L = 1 m, E = 210000 MPa

● I_y = 10,4 cm⁴, I_z = 5,89 cm⁴, I_yz = 4,63 cm⁴

– Gesucht:

● Verschiebungen v_B und w_B von Punkt B

L

x

z A

F

B

(39)

– Biegemoment:

– Ersatzmomente:

– Biegelinien:

M _y(x)=−F (L−x)=F (x−L)

M¯ _y(x)= F (x−L)

1−I_yz² /(I_y I_z) , M¯ _z(x)=−F ( x−L) I_yz/I_y 1−I_yz² /(I_y I_z)

E I_z dv

dx =− F I_yz/I_y

1−I²_yz/(I_y I_z)

(

^x2²−L x+c₁

)

E I_z v=− F I_yz/I_y

^x6³−L x²

2 +d₁ x+d₂

)

v(0)=0 → c₂=0 , dv

dx (0)=0 → c₁=0 w(0)=0 → d₂=0 , dw

dx (0)=0 → d₁=0

(41)

– Ergebnis:

v_B=v(L)= F L³ 3E I _z

I_yz/I_y

1−I_yz² /(I_y I_z) w_B=w(L)= F L³

3E I_y

1

1−I_yz² /(I_yI _z)

v(x)

w(x)= I_yz I_z

(42)

– Zahlenwerte:

F L³

3E =100 N⋅(1⋅10³mm)³

3⋅2100000 N/mm²=1,587⋅10⁵ mm⁵ F L³

3 E I_y= 1,587⋅10⁵ mm⁵

10,4⋅10⁴ mm⁴ =1,526 mm F L³

3 E I_z = 4,762⋅10⁵mm⁵

5,89⋅10⁴ mm⁴ =2,695 mm

1− I²_yz

I_y I_z=1− 4,63²

10,4⋅5,89=0,6500 , I_yz

I_y = 4,63

10,4 =0,4452

(43)

v_B=2,695 mm⋅0,4452

0,6500 =1,846 mm w_B=1,526 mm⋅ 1

0,6500 =2,348 mm

(44)

Beispiel: Balken unter Eigengewicht

e_y a e_z b

z y

x z

L L = 2 m g

I_y = 10,4 cm⁴, I_z = 5,89 cm⁴, I_yz = 4,63 cm⁴ L 50 x 40 x 5 DIN 1029:

q_G = 33,5 N/m, E = 210000 MPa

(45)

– Der abgebildete Balken aus Stahl ist beidseitig gelenkig ge- lagert. Er wird durch sein Gewicht belastet.

– Gesucht ist die maximale Durchbiegung.

– Schnittlasten:

q_z(x)=q_G , Q_z(x)=−q_G x+c₁, M _y(x)=−1

2 q_G x²+c₁ x+c₂ M _y(0)=0 → c₂=0

M _y(L)=0 : − 1

2 q_G L²+c₁ L=0 → c₁= 1

2 q_G L

→ M _y(x)=−1

2 q_G L²

(

^L^x²²⁻ ^L^x

)

(46)

– Ersatzmomente:

– Integrationen:

M¯ _y=− 1 2

q_G L²

1−I²_yz/(I_y I_z)

(

q_G L² I_yz/I_y

1−I_yz² /(I_y I_z)

(

12^xL⁴ ²− x³

6 L +c₁ x+c₂

)

(47)

– Integrationen:

E I _y d²w

dx² = 1 2

q_G L²

1−I²_yz/(I_y I_z)

(48)

⁼384⁵^q^GE I^L⁴_y

1

1−I_yz² /(I_y I _z)

(49)

– Zahlenwerte:

q_G L⁴

E =33,5⋅10⁻³N/mm⋅2000⁴ mm⁴

2,1⋅10⁵N/mm² =2,552⋅10⁶ mm⁵ 1− I²_yz

I_y I_z=1− 4,63²

10,4⋅5,89=0,6500 , I_yz

I_y = 4,63

10,4=0,4452

v_max= 5⋅2,552⋅10⁶ mm⁵ 384⋅5,89⋅10⁴ mm⁴

0,4452

0,65 =0,3864 mm

w_max= 5⋅2,552⋅10⁶mm⁵ 384⋅10,4⋅10⁴ mm⁴

1

0,65=0,4916 mm

(50)

Die Biegelinie wird beschrieben durch die Verschiebung v in y-Richtung und die Verschiebung w in z-Richtung.

Die Biegemomente führen zu einer Verformung der Bal- kenachse, die als Biegelinie bezeichnet wird.