Richtung der Bewegung

4a Kinematik

Mehrdimensionale Bewegungen

Vektoren

Zur Charakterisierung der Bewegung eines Körpers benötigt man auch die Information über die Richtung der Bewegung

Richtung der Bewegung

Vektoren

Geschwindigkeits-Feld

Jedem Punkt im Raum wird ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet

⎟ ⎟

⎟ ⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎛

= v ( , , , ) ) , , , ( v t)

z, y,

v(x, _y

x

t z y x

t

z

y

x

Vektoren

4 blocks west

10 blockssouth

10.77 blocks Ziel

Start

)² Blocks 4

( )² Blocks 10

( Blocks

77 .

10 = +

Abstand Start-Ziel

Skalare und vektorielle Größen

Skalare: Physikalische Größen ohne Richtungsabhängigkeit

Temperatur, Druck, Energie, Masse, Zeit

Vektoren: Physikalische Größen mit Richtungsabhängigkeit

Translation, Geschwindigkeit, Beschleunigung

→

a

→

b

→

c

Vektorsumme

→

→

→

c = a + b

→

→

→

→

a + b = b + a

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ + +

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

a

b

c

a

b

c

Assoziativgesetz

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

+

=

−

=

→

b a

b

a

c

Vektoraddition

graphisch

Vektoren können in beliebiger

Reihenfolge zusammengesetzt werden

Vektoraddition

graphisch

Vektoren können in beliebiger Reihenfolge zusammengesetzt werden

a r

b r

b a r + r

b r

a b r r

+

a b

b

a r + r = r + r

Kommutativgesetz

a r

Vektoraddition

graphisch

a r b r

c r b

a r + r

( ) ^{a r + b r + c r}

a r b r

c r c

b r v +

( ) ^{b c}

a r + r + r

( ) ^{a r + b r + c r = a r +} ( ) ^{b r + c r}

Assoziativgesetz

Vektorsubstraktion

graphisch

A r B r

A r

B - r

A r

B - r

B - A C r r r

= B r

( ) ^{- B}

A B

- A

C r r v r v +

=

= A r

A

- r

Vektorkomponenten

analytisch

A r α

A

A

y

x

A

A A r = +

α Acos A

=

α Asin A

=

y x

A tan

α = A

⎟ ⎟

⎞

⎜ ⎜

= ⎛

+

=

+

= +

=

+

= +

=

−1 x 2 2

y y

y

x x

x

C tan C

C C

C

Bsin Asin

B A

C

Bcos Acos

B A

C

γ

β α

β α

y x

A r α C

C

B r

A

B

B

γ β

Vektorsubstraktion

C r

x-Komponente

y-Komponente

Einheitsvektoren

x y

z

e r

e r

e r

z y

x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

e z e

y e

x r

e b e

b e

b b

e a e

a e

a a

r r

r r

r r

r r

Einheitsvektoren sind Vektoren die in eine bestimmte Richtung zeigen und die Länge EINS haben.

r r

r r

+ +

=

+ +

=

+ +

= r r

x

y

= 1

e r

Translation

( ) ( )

( ) ( ) ( )

z y

x

z y

x

z y

x z

y x

e z e

y e

x r

e z z

e y y

e x x

r

e z e

y e

x e

z e

y e

x r

r r

r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

r

r r

r

Δ + Δ

+ Δ

= Δ

− +

− +

−

= Δ

+ +

− +

+

= Δ

−

= Δ

1 2

1 2

1 2

1 1

1 2

2 2

1 2

r r Δ

r r

r r

Geschwindigkeit

z y

x

z y

x avg

t e e z

t e y

t x

t

e z e

y e

x t r

r r

r r

r r

r r r r

Δ + Δ Δ

+ Δ Δ

= Δ

Δ

Δ + Δ

+

= Δ Δ

= Δ

avg avg

v v v

Mittlere Geschwindigkeit

Momentane Geschwindigkeit

( ^{x e}

^{y e}

^{z e}

)

dt d dt r

d

r r

r r

r r

+ +

=

= v v

Die Richtung des Vektors der momentanen Geschwindigkeit ist die

Tangente am Ort des Teilchens

Beschleunigung

t a

t

Δ

= Δ Δ

= v r

− v r

v r r

Mittlere Beschleunigung

( )

z z y

y x

x

z z y

y x

x

z z y

y x

x

a d a d

a d

e a e

a e

a a

dt e e d

dt e d

dt a d

e e

dt e a d

dt a d

v ,

v ,

v

v v v

v v

v v

=

=

=

+ +

=

+ +

=

+ +

=

=

r r

r r

r r

r r

r r

r r

r r

Momentane Beschleunigung

Die Richtung des Vektors der

momentanen Beschleunigung zeigt nicht in Richtung der Bahn sondern die

Richtung der resultierenden

Die Tour des Mistkäfers

Parastizopus armaticeps

Auch Ameisen können zählen - und zwar nicht nur bis drei. In einem Experiment stellte sich heraus, dass Wüstenameisen sich

anhand ihrer Schrittzahl orientieren. Forscher fanden das

Superpositionsprinzip

0.0s 0.1s

0.2s

0.3s

0.4s

0.5s

v

v

Geschwindigkeits- Komponenten

Bewegungen endlang senkrechter

Richtungen sind unabhängig voneinander

Skateboarder

Geschwindigkeitskomponente in Geradeausrichtung bleibt

erhalten!

Stroboskopaufnahme eines aufprallenden Balls

E.J. Marey Balle Balle rebondissante, étude de trajectoire (1886) Zeit

Zeit

Warum kann man hier die Zeitrichtung nicht umdrehen?

Feuerwerk

Wie hoch fliegt ein Feuerwerkskörper?

Luftreibung wird vernachlässigt

x 0x

x

x 0

v v

v

v

=

=

+

= x t x

Horizontale Bewegung a

=0

Vertikale Bewegung a

=-g=-9.81 m/s²

) (

2 v

v

2 v 1

v v

v

0 2

0y 2

y

2 0y

0 0y x

y 0

y y

g

gt y

y

gt t x

y

−

−

=

− +

=

−

=

+

=

Höchster Punkt der Flugbahn: v

=0

m/s 70

v r

=

°

= Θ 75

m

= 125

x

Wie hoch fliegt ein Feuerwerkskörper?

y g

gy

y y

g

2 v

2 v

0

) (

2 v

v

2 0y 2 0y

0 2

0y 2

y

=

−

=

−

−

=

( ^{70 m/s} )( ^sin75 ) ^{67 . 6 m/s}

v

= ° =

0 0

0y

v sin

v = Θ

( )

( ^m/s ) ^{232.9 m}

67.6

=

=

Scheitelpunkt hängt nur von y

Höchster Punkt der Flugbahn: v

=0

m/s 70

v r

=

°

= Θ 75

m

= 125

x

Schräger Wurf

Aristoteles:

a) gerade ansteigende Linie b) gekrümmtes Kurvenstück c) senkrechter Fall

Vorstellung gültig bis ins 16. Jahrhundert Ursache

Eine lebendige Kraft (vis viva) treibt den Körper an, die dann erlischt, sodass der Körper in einer Kurve zu Boden fällt.

Paradigmenwechsel bei Galilei:

Annahme idealisierter Bedingungen, d.h.

Vernachlässigung des Luftwiderstandes

Wurfweite

Horizontale Bewegung

t x

x −

= v

Vertikale Bewegung

Θ

= v cos v

( ^Θ ) ^t

= v cos x

-

x ^{y - y =} ( ^{v sin Θ} ) ^{t − 1 gt ²}

2 ² v 1

y -

y

=

t − gt v r

Θ

= v cos v

Θ

= v sin v

Θ

x

y

Care Paket

s 260 m v

=

y

= gt v

v

v

v

s 298 m v

s 147 m s

260 m v

v v

v

2 2

2 y 2

x

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

+

=

Θ

m

s s 15 9.81 m 0

v

v v

y 2

0 y

+

=

+

= gt

Flugzeit 15 s

horizontale Geschwindigkeit

Aufschlaggeschwindigkeit

ohne Reibung

You can‘t stop that train

Tram Stop!

Absturz der Subway-Bahn dauert

4.64 s

Zwei Wagen a 15.56 m

( ) ( )

( ) ( )

Flugweite e

Brückenhöh Wagenlänge

2

Pythagoras von

Satz

2 2

=

−

⋅

=

−

⋅

Höhe der Brücke

m 2.4 2

s 2 2.14

???

motion slow

???

m 6 2 10

1

=

=

=

=

= Δ

h t t

gt h

movie real

Tram Stop!

h 36.3 km s

10.1 m s

2.14 21.6m v

Bahn -

der U gkeit

Geschwindi e

Horizontal

=

=

=

= t x

x

Höchstgeschwindigkeit

h 72 km s

20 m s

s² 2.04 9.81 m

v

v

Bahn -

der U gkeit

Geschwindi Vertikale

=

=

⋅

=

=

y

y

gt

h 80.7 km s

22.4 m v

gkeit Geschwindi

der Betrag

=

=